《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

【例5】(2024秋·深圳期中)如图，在平行四边形ABCD中，∠BDC=90°，E是AD边上一点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF。
(1)请从下列条件中选择一个能证明四边形ABDF是矩形的条件，并写出证明过程；
①AE=DE；②BF=BC；③AE=BE。
(选择条件：①)
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB//CD，∴∠ABE=∠DFE.
在△ABE 和△DFE 中，$\begin{cases}∠ABE=∠DFE,\\∠AEB=∠DEF,\\AE=DE,\end{cases}$
∴△ABE≌△DFE(AAS)，∴AB=DF.
∵AB//DF，AB=DF，∴四边形 ABDF 是平行四边形.
∵∠BDC=90°，∴∠BDF=90°，∴四边形 ABDF 是矩形.
(2)若四边形ABDF是矩形，且AB=3，AD=5，求四边形ABCF的面积。
四边形ABCF的面积等于18.

答案： 解：
(1)选①AE=DE.
证明：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ABE=∠DFE.
在△ABE 和△DFE 中，$\begin{cases}∠ABE=∠DFE,\\∠AEB=∠DEF,\\AE=DE,\end{cases}$
∴△ABE≌△DFE(AAS)，
∴AB=DF.
∵AB//DF，AB=DF，
∴四边形 ABDF 是平行四边形.
∵∠BDC=90°，
∴∠BDF=90°，
∴四边形 ABDF 是矩形.
(2)解：
∵四边形 ABDF 是矩形，
∴AB=DF.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=DF=CD=3，
∴CF=DF+CD=3+3=6.
在 Rt△BDC 中，BC=AD=5，CD=3，
∴BD=$\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$.
∵AB//CF，
∴S=$\frac{1}{2}BD(AB+CF)=\frac{1}{2}\times4\times(3+6)=18$，
∴四边形 ABCF 的面积等于 18.

如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为(C)。

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

答案： C 解析：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB//CD，
∴∠DCA=∠BAC.由折叠的性质可知，∠DCA=∠D'CA，
∴∠CAF=∠D'CA，
∴FA=FC.在 Rt△BFC 中，BF²+BC²=CF²，即(8−AF)²+4=AF²，解得 AF=5，则△AFC 的面积为$\frac{1}{2}AF\cdot BC=\frac{1}{2}\times5\times4=10$.

(1)求证：四边形ADCE为矩形；
(2)若BD=6，DF=5，求AD的长。8

答案：
(1)证明：
∵AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADC=90°.
∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，
∴∠MAN=∠CAN，
∴∠DAE=90°.
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°.
∴∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°，
∴四边形 ADCE 为矩形.
(2)解：
∵四边形 ADCE 为矩形，
∴AE=CD，AC=DE.
∵BD=CD，
∴AE=BD=6.
∵DF=5，
∴AC=DE=10，
∴AD=$\sqrt{DE^{2}-AE^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$.

1. (2023·佛山联考)下列性质中，矩形ABCD不一定具有的是(A)。
A. AB=BC
B. AB//CD
C. ∠ABC=90°
D. AC=BD

答案： A

2. (2024·深圳模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为(B)。

A. 2√5
B. 2√3
C. 4
D. 2

答案： B