《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 相似三角形的性质定理2
相似三角形的周长比等于①相似比，面积比等于②相似比的平方.
相似多边形的性质推理：
如图1，若$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，则$\frac { AB } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { BC } { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } = \frac { CA } { C ^ { \prime } A ^ { \prime } } = k$，
由比例性质可得$\frac { AB + BC + CA } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } + B ^ { \prime } C ^ { \prime } + C ^ { \prime } A ^ { \prime } } = \frac { k A ^ { \prime } B ^ { \prime } + k B ^ { \prime } C ^ { \prime } + k C ^ { \prime } A ^ { \prime } } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } + B ^ { \prime } C ^ { \prime } + C ^ { \prime } A ^ { \prime } } = k$.
如图2，若$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，则$\frac { AB } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { BC } { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } = \frac { CA } { C ^ { \prime } A ^ { \prime } } = k$，分别作出$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$的高$AD$和$A'D'$，则$\frac { S _ { \triangle ABC } } { S _ { \triangle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } } } = \frac { \frac { 1 } { 2 } BC \cdot AD } { \frac { 1 } { 2 } B ^ { \prime } C ^ { \prime } \cdot A ^ { \prime } D ^ { \prime } } = \frac { \frac { 1 } { 2 } k B ^ { \prime } C ^ { \prime } \cdot k A ^ { \prime } D ^ { \prime } } { \frac { 1 } { 2 } B ^ { \prime } C ^ { \prime } \cdot A ^ { \prime } D ^ { \prime } } = k ^ { 2 }$.

答案： ①相似比 ②相似比的平方

【例1】若两个相似三角形的相似比是$1:3$，则这两个相似三角形的面积比是1:9.

答案： 【例1】 1:9 

如果两个相似三角形的周长比为$3:2$，那么它们的面积比是9:4.

答案： 对点训练1 9:4

【例2】(2024秋·顺德区期末)已知$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$，且$\frac { A B } { D E } = \frac { 1 } { 2 }$，若$\triangle ABC$的周长是6，则$\triangle DEF$的周长是(C).
A. 3
B. 6
C. 12
D. 18

答案： C

两个相似三角形的相似比为$1:2$，较小三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为(C).
A. 2
B. 8
C. 16
D. 1

答案： C