《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 二次函数的图象与x轴的交点情况
二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象与x轴的交点有三种情况：
有两个交点、有一个交点、没有交点.
与此相对应，一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根也有三种情况：
有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.
因此可以用一元二次方程根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数：
当$\Delta＞0$时，抛物线与x轴有①两个交点；
当$\Delta = 0$时，抛物线与x轴有②一个交点，这个交点是抛物线的③顶点；
当$\Delta＜0$时，抛物线与x轴④没有交点.

答案： ①两个　②一个　③顶点　④没有

【例1】小兰画了一个函数$y = x^{2}+ax + b$的图象，如图所示，则关于x的方程$x^{2}+ax + b = 0$的解是(D).
A. 无解
B. $x = 1$
C. $x = -4$
D. $x_{1}=-1$，$x_{2}=4$

答案： D

对点训练1 如图，已知二次函数$y = x^{2}+bx + c$的图象经过点$(-1,0)$，$(1,-2)$，该图象与x轴的另一个交点为C，则AC的长为3.
知识点2 一元二次方程的根与抛物线的平移
利用平移来找一元二次方程的根的时候，注意理解抛物线的平移方式，再根据平移方式来确定方程的解.

答案： 3

【例2】若二次函数$y = ax^{2}-1$的图象经过点$(-2,0)$，则关于x的方程$a(x - 2)^{2}-1 = 0$的实数根为(A).
A. $x_{1}=0$，$x_{2}=4$
B. $x_{1}=-2$，$x_{2}=6$
C. $x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=\frac{5}{2}$
D. $x_{1}=-4$，$x_{2}=0$

答案： A

对点训练2 已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象经过$(-3,0)$与$(1,0)$两点，关于x的方程$ax^{2}+bx + c + m = 0(m＞0)$有两个根，其中一个根是3，则关于x的方程$ax^{2}+bx + c + n = 0(0＜n＜m)$有两个整数根，这两个整数根是(B).
A. $-2$和0
B. $-4$和2
C. $-5$和3
D. $-6$和4

答案： B