《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

【例1】(2024秋·深圳期中)下列是一元二次方程的是(B)。
A. $x^{2}-2+x^{3}=0$
B. $x^{2}+2x+3=0$
C. $y^{2}+x=1$
D. $\frac{1}{x}=1$

答案： B

对点训练2 (2023·深圳期中)已知$x^{m - 2}+6 = 0$是关于$x$的一元二次方程，则$m$的值为4。

答案： 4

【例3】(1)将一元二次方程$x(x - 2)=5$化为一般形式是$x^{2}-2x-5=0$，二次项系数是1，一次项系数是$-2$，常数项是$-5$。
(2)(2024秋·宝安区校级期中)一元二次方程$x^{2}=6x + 1$的一次项系数是$-6$。

答案： （1）$x^{2}-2x-5=0$ 1 $-2$ $-5$ （2）$-6$

【例4】已知关于$x$的方程$mx^{2}+2x - 3 = 0$是一元二次方程，则$m$的取值范围是(B)。
A. $m＞1$
B. $m\neq0$
C. $m = 1$
D. $m\neq1$

答案： B

对点训练4 若方程$(a - 2)x^{2}-4x + 9 = 0$是关于$x$的一元二次方程，则$a$的取值范围是(B)。
A. $a\neq0$
B. $a\neq2$
C. $a\neq - 2$
D. $a＞ - 2$

答案： B

【例5】两个数的积为12，和为7，设其中一个数为$x$，则依题意可列方程$x(7-x)=12$；化为一元二次方程的一般式为$x^{2}-7x+12=0$。

答案： 【例5】$x(7-x)=12$ $x^{2}-7x+12=0$

某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，设长方形绿地的宽为$x$米，则可列方程为$x(x+10)=300$；化为一元二次方程的一般式为$x^{2}+10x-300=0$。

答案： 对点训练5 $x(x+10)=300$ $x^{2}+10x-300=0$

1. (2024秋·宝安区校级期中)下列方程是一元二次方程的是(C)。
A. $y = x^{2}$
B. $x+\frac{1}{x}=1$
C. $x^{2}-x = 0$
D. $x + 2^{2}=1$

答案： C

2. (2024秋·光明区校级月考)关于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx = 3x + 5$化为一般形式后不含一次项，则$m$的值为(C)。
A. 0
B. $\pm3$
C. 3
D. $-3$

答案： C

3. 一元二次方程$(1 + 3x)(x - 3)=2x^{2}+1$化为一般形式为$x^{2}-8x-4=0$。

答案： $x^{2}-8x-4=0$

4. 一元二次方程$3x^{2}+1 = 6x$的二次项系数是3，一次项系数是$-6$，常数项是1。

答案： 3 $-6$ 1

5. 若关于$x$的方程$(m - 2)x^{|m|}+3x + 1 = 0$是一元二次方程，则$m=$$-2$。

答案： $-2$

6. 已知三个连续奇数的平方和是371，设第二个奇数为$x$，则依题意可得到的方程是$(x-2)^{2}+x^{2}+(x+2)^{2}=371$。

答案： $(x-2)^{2}+x^{2}+(x+2)^{2}=371$

7. 如图，一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边长相差2，设较长的直角边长为$x$，根据题意，列方程得$x^{2}+(x-2)^{2}=10^{2}$，化成一元二次方程的一般形式为$x^{2}-2x-48=0$。

答案： $x^{2}+(x-2)^{2}=10^{2}$ $x^{2}-2x-48=0$

8. $a$为何值时，关于$x$的方程$ax(x + 3)=x^{2}+x - 2$：
(1)是一元二次方程；
(2)是一元一次方程，并求出此时对应方程的解。

答案： 解：$ax(x+3)=x^{2}+x-2$，
整理得$(a-1)x^{2}+(3a-1)x+2=0$，
∴当$a-1≠0$，即$a≠1$时，方程为一元二次方程。
（2）由（1）知，方程为$(a-1)x^{2}+(3a-1)x+2=0$，
∴当$a-1=0$，即$a=1$时，方程为一元一次方程，
此时方程变为$2x+2=0$，
∴$2x=-2$，解得$x=-1$。