《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

【例4】如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，得折痕BE，BF，则$\angle EBF$的大小为45°。

答案： 45°

对点训练4 如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上，$\angle EFD=60^{\circ}$。若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为____2。

答案： 2

【例5】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AD上，连接AE，BF相交于点G，AE⊥BF。
(1)求证：$\angle AED = \angle FBC$；
(2)连接BE，BF，若AE=4，求四边形ABEF的面积。

(1)证明:∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADE=90°，AB=AD,
∴∠ABF+∠AFB=∠ABF+∠FBC=90°，
∴∠FBC=∠AFB.
∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAG=90°,
∵∠DAE+∠BAG=90°，
∴∠DAE=∠ABF;
∵∠BAD=∠D=90°，AB=AD,
∴△BAF≌△ADE(ASA)，
∴∠AFB=∠AED，∴∠AED=∠FBC;
(2)解:∵△BAF≌△ADE，∴BF=AE=4,
∵AE⊥BF,
∴四边形ABEF的面积=S△AFB+S△BFE=$\frac{1}{2}$BF·AG+$\frac{1}{2}$BF·GE=$\frac{1}{2}$BF·AE=$\frac{1}{2}$×4×4=8.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADE=90°，AB=AD,
∴∠ABF+∠AFB=∠ABF+∠FBC=90°，
∴∠FBC=∠AFB.
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAG=90°,
∵∠DAE+∠BAG=90°，
∴∠DAE=∠ABF;
∵∠BAD=∠D=90°，AB=AD,
∴△BAF≌△ADE(ASA)，
∴∠AFB=∠AED，
∴∠AED=∠FBC;
(2)解:
∵△BAF≌△ADE，
∴BF=AE=4,
∵AE⊥BF,
∴四边形ABEF的面积=S△AFB+S△BFE=$\frac{1}{2}$BF·AG+$\frac{1}{2}$BF·GE=$\frac{1}{2}$BF·AE=$\frac{1}{2}$×4×4=8.

(1)求证：AE=BF；
(2)若BC=$\sqrt{2}$cm，求正方形DEFG的边长。$\frac{2}{3}$cm

答案：
(1)证明:
∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°,
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=GF,∠DEA=∠GFB=90°，
∴△ADE≌△BGF(AAS)，
∴AE=BF;
(2)解:在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{2}$BC.
∵∠DEA=90°，∠A=45°，
∴∠ADE=45°.
∴AE=DE.同理BF=GF.
∴EF=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{2}$BC=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{2}{3}$(cm),
∴正方形DEFG的边长为$\frac{2}{3}$cm.

1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（A）。
A. 对角线互相平分
B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等
D. 对角线互相垂直平分且相等

答案： A

2. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，则$\angle AOB$的度数是（D）。

A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$

答案： D