《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点 猜想、拓展与拓广
面对特殊问题得到特殊结论，我们可以将其问题一般化，再探究这一结论是否仍然存在，形成一个命题，再给予证明，然后再换一个角度或层面进一步探讨，从而拓宽学生的知识范围。
【例】我们已知道矩形的长和宽分别为 2 和 1 时，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍. 问题：当已知矩形的长和宽分别为 $ n $ 和 $ m $ 时，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍？结论是什么？你是怎么做的？

答案： 【例】存在.如果设所求矩形的长为x，那么它的宽为2(m + n) - x，其面积为x[2(m + n) - x]，根据题意得x[2(m + n) - x] = 2mn，即x² - 2(m + n)x + 2mn = 0.
∵△ = 4(m + n)² - 4×2mn = 4m² + 4n² ＞ 0，
∴方程的解为x₁ = m + n + $\sqrt{m² + n²}$，x₂ = m + n - $\sqrt{m² + n²}$.

对点训练【学以致用】
问题：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
【讨论】小明说：一定存在.
小华说：一定不存在.
小红说：不一定存在.
【探究】老师和大家一起举例说明：
（1）如果已知矩形的长和宽分别为 7 和 1，那么它的周长和面积分别为 16 和 7，则所求的矩形周长和面积应分别为 8 和 3.5.
问题转化为：周长为 8，面积为 3.5 的矩形是否存在？我们假设所求矩形的长为 $ x $，固定它的周长为 8，则它的宽为4 - x可列出方程x(4 - x) = 3.5，解得x₁ = 2 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₂ = 2 - $\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以矩形的长为2 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
（2）①如果矩形的长和宽分别为 5 和 1，这时情况如何？
②综上所得，你认为小红的说法正确.

答案： 对点训练　
(1)设所求矩形的长为x，固定它的周长为8，则它的宽为4 - x，可列出方程x(4 - x) = 3.5，解得x₁ = 2 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₂ = 2 - $\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以矩形的长为2 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)①如果矩形的长和宽分别为5和1，则矩形的周长为12，面积为5，
∴新矩形的周长为6，面积为2.5.
设所求矩形的长为x，固定它的周长为6，则它的宽为3 - x，
可列出方程x(3 - x) = 2.5，△ ＜ 0，没有实数根，
所以不存在这样的矩形；
②由以上两个结论可得小红的说法正确.
故答案为
(1)4 - x；x(4 - x) = 3.5；x₁ = 2 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₂ = 2 - $\frac{\sqrt{2}}{2}$；矩形的长为2 + $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)①见上面解析；②小红.