《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

【例3】如图，已知抛物线的顶点为$A(0,1)$，矩形$CDEF$的顶点$C,F$在抛物线上，点$D,E$在$x$轴上，$CF$交$y$轴于点$B(0,2)$，且矩形面积为8.
(1)求此抛物线的表达式；$y=\frac{1}{4}x^{2}+1$
(2)求当$-1\leqslant x\leqslant3$时，$y$的取值范围；$1\leq y\leq\frac{13}{4}$
(3)直接写出当$y＞3$时，$x$的取值范围.$x＜-2\sqrt{2}$或$x＞2\sqrt{2}$

答案： 【例3】解:　
(1)
∵$A(0,1)$为抛物线顶点，
∴抛物线对称轴为$y$轴。
∵$C$，$F$在抛物线上，
∴$BC = BF$。
∵矩形$CDEF$的面积为$CF\cdot OB = 8$，
∴$CF=\frac{8}{OB}=4$，
∴$BC = BF = 2$，
∴点$F$的坐标为$(2,2)$。
设抛物线表达式为$y = ax^{2}+1$，
把$(2,2)$代入表达式得$2 = 4a + 1$，解得$a=\frac{1}{4}$，
∴抛物线表达式为$y=\frac{1}{4}x^{2}+1$。
(2)
∵抛物线开口向上，对称轴为$y$轴，
∴当$x = 0$时，$y$取最小值为$1$。
∵$3 - 0＞0 - (-1)$，
∴当$x = 3$时$y$取最大值。
把$x = 3$代入$y=\frac{1}{4}x^{2}+1$，得$y=\frac{13}{4}$。
∴$1\leq y\leq\frac{13}{4}$。
(3)把$y = 3$代入$y=\frac{1}{4}x^{2}+1$，得$3=\frac{1}{4}x^{2}+1$，
解得$x = -2\sqrt{2}$或$x = 2\sqrt{2}$，
∴当$y＞3$时，$x＜-2\sqrt{2}$或$x＞2\sqrt{2}$。

(1)求该抛物线所对应的函数表达式；$y=-x^{2}-6x - 5$
(2)若点$P$的坐标为$(-2,3)$，请求出此时$\triangle APC$的面积.15

答案： 对点训练3　解:　
(1)设抛物线表达式为$y = a(x + 5)(x + 1)$，把$C(0,-5)$代入，得$5a = -5$，解得$a = -1$，
∴抛物线的表达式为$y = -(x + 5)(x + 1)=-x^{2}-6x - 5$。
(2)设直线$PC$的表达式为$y = mx + n$，把$P(-2,3)$，$C(0,-5)$代入，得$\begin{cases}-2m + n = 3,\\n = -5,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = -4,\\n = -5,\end{cases}$
∴直线$PC$的表达式为$y = -4x - 5$。令$y = 0$，则$-4x - 5 = 0$，解得$x = -\frac{5}{4}$，
∴$D(-\frac{5}{4},0)$，
∴$AD = -\frac{5}{4}-(-5)=\frac{15}{4}$，
∴$S_{\triangle APC}=S_{\triangle APD}+S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AD\cdot|y_{P}|+\frac{1}{2}AD\cdot|y_{C}|=\frac{1}{2}AD\cdot(|y_{P}|+|y_{C}|)=\frac{1}{2}\times\frac{15}{4}\times8 = 15$。

1. 已知二次函数的图象经过点$A(3,0),B(2,-3),C(0,-3)$，求此函数的表达式.

答案： 1. 解:设此函数的表达式为$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，
∴$\begin{cases}0 = 9a + 3b + c,\\-3 = c,\\-3 = 4a + 2b + c,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = -2,\\c = -3,\end{cases}$
∴此函数的表达式为$y = x^{2}-2x - 3$。

2. 抛物线$y = ax^{2}-3ax + b$经过点$(-1,0),(3,2)$，求此抛物线的表达式.

答案： 2. 解:由题意，得$\begin{cases}a + 3a + b = 0,\\9a - 9a + b = 2,\end{cases}$
∴$\begin{cases}a = -\frac{1}{2},\\b = 2.\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x + 2$。

3. 将抛物线$y = -x^{2}$平移后经过$A(1,-2),B(3,-1)$两点，求平移后得到的抛物线的表达式.

答案： 3. 解:设平移后得到的抛物线的表达式为$y = -x^{2}+bx + c$。则$-2 = -1 + b + c$，$-1 = -9 + 3b + c$，解得$b=\frac{9}{2}$，$c = -\frac{11}{2}$，
∴平移后得到的抛物线的表达式为$y = -x^{2}+\frac{9}{2}x-\frac{11}{2}$。

4. 将抛物线$y = -x^{2}+bx + c$向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得抛物线$y = -x^{2}+2x + 8$，则原抛物线的表达式为__________________.

答案：
4. $y = -x^{2}-2x + 11$