《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

7. (2023·深圳期末)如图，在$△ABC$中，$∠ABC = 90°$，$∠A = 60°$，直尺的一边与$BC$在一条直线上，另一边分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$. 点$B$，$C$，$D$，$E$处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽$BD$为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

答案： $\frac{2\sqrt{3}}{3}$　解析:由题意，得DE=1，BC=3.
在Rt△ABC中，∠A=60°，则AB=$\frac{BC}{tanA}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，
即$\frac{1}{3}$=$\frac{\sqrt{3}-BD}{\sqrt{3}}$，解得BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.故答案为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

8. (2024·福田区校级模拟)如图，小明想利用“$∠A = 30°$，$AB = 6cm$，$BC = 4cm$”这些条件作$△ABC$. 他先作出了$∠A$和$AB$，再用圆规作$BC$时，发现点$C$出现$C_{1}$和$C_{2}$两个位置，那么$C_{1}C_{2}$的长是2$\sqrt{7}$cm.

答案： 8. 2$\sqrt{7}$　解析:如图，过点B作BM⊥AC₂于点M，
∵∠A=30°，BM⊥AC₂，AB=6cm，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=3cm.
∵BC₁=BC₂=4cm，BM⊥AC₂，
∴C₁M=C₂M=$\sqrt{4^{2}-3^{2}}$=$\sqrt{7}$(cm)，
∴C₁C₂=2$\sqrt{7}$cm.

9. 如图，在$△ABC$中，$AD⊥BC$，$AE$是$BC$边上的中线，$AB = 10$，$AD = 6$，$\tan∠ACB = 1$.
(1)求$BC$的长；
解:∵AD⊥BC，AB=10，AD=6，
∴BD=$\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}$=$\sqrt{10^{2}-6^{2}}$=8.
∵tan∠ACB=1，∴CD=AD=6.
∴BC=BD+CD=8+6=14.
(2)求$\sin∠DAE$的值.
解:∵AE是BC边上的中线，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=7.
∴DE=CE−CD=7−6=1.
∵AD⊥BC，
∴AE=$\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}$=$\sqrt{6^{2}+1^{2}}$=$\sqrt{37}$
∴sin∠DAE=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{37}}$=$\frac{\sqrt{37}}{37}$.

答案： 解:　
(1)
∵AD⊥BC，AB=10，AD=6，
∴BD=$\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}$=$\sqrt{10^{2}-6^{2}}$=8.
∵tan∠ACB=1，
∴CD=AD=6.
∴BC=BD+CD=8+6=14.
(2)
∵AE是BC边上的中线，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=7.
∴DE=CE−CD=7−6=1.
∵AD⊥BC，
∴AE=$\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}$=$\sqrt{6^{2}+1^{2}}$=$\sqrt{37}$
∴sin∠DAE=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{37}}$=$\frac{\sqrt{37}}{37}$.