《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

1. 已知矩形的长、宽分别为 $ m $，$ n $，如果存在另一个矩形的周长和面积是已知矩形的周长和面积的一半，求 $ m $，$ n $ 满足的条件.

答案： 解：设另一个矩形的长为x，则宽为$\frac{1}{2}$(m + n) - x. 由题意得x·[$\frac{1}{2}$(m + n) - x] = $\frac{1}{2}$mn，整理可得2x² - (m + n)x + mn = 0 ①.
当△ = [-(m + n)]² - 4×2×mn = m² + n² - 6mn ≥ 0，即m² + n² ≥ 6mn时，方程①有解，故m，n满足的条件为m² + n² ≥ 6mn.

2.（2023 秋·罗湖区校级月考）我们定义：如果一个矩形 $ A $ 周长和面积都是 $ B $ 矩形的 $ N $ 倍，那么我们就称矩形 $ A $ 是矩形 $ B $ 的完全 $ N $ 倍体.
（1）若矩形 $ A $ 为正方形，是否存在一个正方形 $ B $ 是正方形 $ A $ 的完全 2 倍体？______（填“存在”或“不存在”）.
【深入探究】长为 3，宽为 2 的矩形 $ C $ 是否存在完全 2 倍体？小鸣和小棋分别有以下思路：
【小鸣方程流】设新矩形长和宽分别为 $ x $，$ y $，则依题意 $ x + y = 10 $，$ xy = 12 $，由 $ \begin{cases} x + y = 10, \\ xy = 12, \end{cases} $ 得 $ x ^ { 2 } - 10 x + 12 = 0 $，再探究根的情况；
【小棋函数流】如图，也可用反比例函数 $ l _ { 2 } : y = \frac { 12 } { x } $ 与一次函数 $ l _ { 1 } : y = - x + 10 $ 来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全 2 倍体.
（2）长为 4，宽为 3 的矩形 $ C $ 是否存在完全 $ \frac { 1 } { 2 } $ 倍体？请利用上述其中一种思路说明原因.
（3）如果长为 5，宽为 4 的矩形 $ C $ 存在完全 $ k $ 倍体，请直接写出 $ k $ 需要满足的不等式.

答案：
解：
(1)假设存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体，则正方形B的周长是正方形A周长的2倍，
∴正方形B的边长是正方形A边长的2倍，
∴正方形B的面积是正方形A面积的4倍，这与“完全2倍体”矛盾，所以不存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体.
故答案为不存在.
[深入探究]长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体.
理由：
∵矩形ABCD的长为3，宽为2，
∴矩形ABCD的周长为10，面积为6.
小鸣方程流：设新矩形长和宽分别为x，y，
则依题意得x + y = 10，xy = 12，
由$\begin{cases}x + y = 10\\xy = 12\end{cases}$，整理得x² - 10x + 12 = 0，
解得x₁ = 5 + $\sqrt{13}$，x₂ = 5 - $\sqrt{13}$，
∴新矩形的长为5 + $\sqrt{13}$，宽为5 - $\sqrt{13}$时，周长为20，面积为12，
∴长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体.
小棋函数流：如图，设新矩形的长和宽分别为x，y，则依题意得x + y = 10，xy = 12，
即y = -x + 10，y = $\frac{12}{x}$，利用反比例函数l₂：y = $\frac{12}{x}$与一次函数l₁：y = -x + 10来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体，如图.

故长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体.
(2)设新矩形的长和宽分别为x，y，则依题意得x + y = $\frac{7}{2}$，xy = 6，
由$\begin{cases}x + y = \frac{7}{2}\\xy = 6\end{cases}$，得2x² - 7x + 12 = 0，
∴△ = (-7)² - 4×2×12 = -47 ＜ 0，
∴方程无解，
∴长为4，宽为3的矩形C不存在完全$\frac{1}{2}$倍体.
(3)设新矩形的长和宽分别为x，y，则依题意得x + y = 9k，xy = 20k，
∴x² - 9kx + 20k = 0，
∴△ = (-9k)² - 4×1×20k = 81k² - 80k = k(81k - 80) ≥ 0.
∵k ＞ 0，
∴81k - 80 ≥ 0，
∴k ≥ $\frac{80}{81}$.