《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

**知识点** 矩形的判定
(1)定理一：对角线①相等的②平行四边形是矩形。
几何语言：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形。
温馨提示：判定定理一的使用前提是四边形是平行四边形。
(2)定理二：有③三个角是④直角的⑤四边形是矩形。
几何语言：如图，∵∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形。
温馨提示：使用判定定理二不需要平行四边形这个条件。

答案： ①相等　②平行四边形　③三个角　④直角　⑤四边形

**【例1】**如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD。求证：四边形ABCD是矩形。

证明：∵四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO，BD=2OD.
∵OA=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形.

答案： 证明：
∵四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，BD=2OD.
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.

**对点训练1** 如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB=∠DBC，求证：平行四边形ABCD是矩形。

证明：∵∠ACB=∠DBC，∴BO=CO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OC，BD=2OB，∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.

答案： 证明：
∵∠ACB=∠DBC，
∴BO=CO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OC，BD=2OB，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.

 **【例2】**如图，在□ABCD中，E，F分别是边AB，DC上的点，DE⊥AB，BF⊥CD。求证：BE=DF。

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠CDE+∠DEB=180°.
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠DEB=∠DFB=∠CDE=90°，
∴四边形BFDE为矩形，
∴BE=DF.

**对点训练2** (2024秋·光明区月考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF。
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若AB=13，AC=10，求AE的长。
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC且AD=BC；
∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，∴AD=EF；
∵AD//EF，∴四边形AEFD是平行四边形.
∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°，∴四边形AEFD是矩形.
　(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO=5，BC=AB=13.
∵AE⊥BC，∴S_{四边形ABCD}=BC·AE.
在Rt△ABO中，由勾股定理可得
BO=$\sqrt{AB^{2}-AO^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}$=12，
∴BD=2BO=24.
∵S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC·BD=BC·AE，
∴$\frac{1}{2}$×10×24=13×AE，∴AE=$\frac{120}{13}$.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC且AD=BC；
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
∴AD=EF；
∵AD//EF，
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形.
(2)解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO=5，BC=AB=13.
∵AE⊥BC，
∴S_{四边形ABCD}=BC·AE.
在Rt△ABO中，由勾股定理可得
BO=$\sqrt{AB^{2}-AO^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}$=12，
∴BD=2BO=24.
∵S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC·BD=BC·AE，
∴$\frac{1}{2}$×10×24=13×AE，
∴AE=$\frac{120}{13}$.