《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

1. 如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2.梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地的竖直高度BC.（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）

解:在Rt△ABC中，AB = 3m，∠BAC = 75°，sin∠BAC = sin75° = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{BC}{3}$ ≈ 0.97，∴BC ≈ 2.9m。
答:梯子顶部离地的竖直高度BC约为2.9m。

答案： 解:在Rt△ABC中，AB = 3m，∠BAC = 75°，sin∠BAC = sin75° = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{BC}{3}$ ≈ 0.97，
∴BC ≈ 2.9m。
答:梯子顶部离地的竖直高度BC约为2.9m。

2. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB=12m，则这棵树CD的高度是( )．

A. 6(3−√3)m
B. 6(3+√3)m
C. 4(3−√3)m
D. 4(3+√3)m

答案：
A　解析:由题意，得CD⊥AB，设BD = xm，
在Rt△CDB中，∠B = 60°，
∴CD = BD·tan60° = $\sqrt{3}$xm。
在Rt△ACD中，∠A = 45°，
∴AD = $\frac{CD}{tan45°}$ = $\sqrt{3}$xm。
∵AB = 12m，
∴AD + BD = 12m，
∴$\sqrt{3}$x + x = 12，
解得x = 6($\sqrt{3}$ - 1)，
∴CD = $\sqrt{3}$x = 6(3 - $\sqrt{3}$)m，
∴这棵树CD的高度是6(3 - $\sqrt{3}$)m，故选A。

3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.这时，B处距离A处有多远?（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

答案：
解:如图，过点P作PC⊥AB于点C，
在Rt△APC中，∠A = 37°，AP = 100海里，
∴PC = AP·sinA = 100×sin37° ≈ 100×0.6 = 60(海里)，
AC = AP·cos37° ≈ 100×0.8 = 80(海里)。
在Rt△PBC中，
∵∠B = 45°，
∴BC = PC ≈ 60海里，
∴AB = AC + BC ≈ 80 + 60 = 140(海里)。
答:B处距离A处约有140海里。

4. 图1中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”.某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB=873m，如图2.从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC=37°，看塔底D的俯角∠EAD=45°，求吉塔的高度CD(结果精确到0.1m).（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

解:如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F。
∵AB⊥BD，CF⊥AB，DC⊥BD，
∴∠CDB = ∠B = ∠CFB = 90°。
∴四边形CDBF是矩形。
∴BF = CD，CF = BD。
∵CF//BD//AE，
∴∠EAC = ∠ACF = 37°，∠EAD = ∠ADB = 45°。
∴BD = AB = 873m，∴CF = 873m。
在Rt△ACF中，∵tan∠ACF = $\frac{AF}{CF}$，
∴AF = CF·tan∠ACF = 873×tan37° ≈ 654.75(m)。
∴CD = FB = AB - AF ≈ 873 - 654.75 = 218.25 ≈ 218.3(m)。
答:吉塔的高度CD约为218.3m。

答案： 解:如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F。
∵AB⊥BD，CF⊥AB，DC⊥BD，
∴∠CDB = ∠B = ∠CFB = 90°。
∴四边形CDBF是矩形。
∴BF = CD，CF = BD。
∵CF//BD//AE，
∴∠EAC = ∠ACF = 37°，∠EAD = ∠ADB = 45°。
∴BD = AB = 873m，
∴CF = 873m。
在Rt△ACF中，
∵tan∠ACF = $\frac{AF}{CF}$，
∴AF = CF·tan∠ACF = 873×tan37° ≈ 654.75(m)。
∴CD = FB = AB - AF ≈ 873 - 654.75 = 218.25 ≈ 218.3(m)。
答:吉塔的高度CD约为218.3m。

5. 如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网络信号塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡AP攀行了26米到达坡顶，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.
求：(1)坡顶A到地面PO的距离；
(2)网络信号塔BC的高度(结果精确到0.1米).
（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

答案：
解:　
(1)如图，过点A作AH⊥PO于点H，

由题意，得AP = 26米，
∵斜坡AP的坡度为1:2.4，
∴$\frac{AH}{PH}$ = $\frac{1}{2.4}$ = $\frac{5}{12}$。
设AH = 5a米，则PH = 12a米，
∴AP = $\sqrt{AH^{2} + PH^{2}}$ = $\sqrt{(5a)^{2} + (12a)^{2}}$ = 26，
解得a = 2，
∴AH = 10米。
∴坡顶A到地面PO的距离为10米。
(2)如图，延长BC交PO于点D，由题意，得CD = AH = 10米，AC = DH，∠BPD = 45°，∠BAC = 76°，
设BC = x米，则BD = (x + 10)米，
在Rt△BPD中，∠BPD = 45°，
∴BD = PD = (x + 10)米。
∵PH = 24米，
∴DH = AC = (x + 10) - 24 = (x - 14)米，
在Rt△ABC中，tan76° = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{x}{x - 14}$ ≈ 4.01，解得x ≈ 18.7。
经检验，x ≈ 18.7是原方程的解且符合题意。
∴网络信号塔BC的高度约为18.7米。