《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤:
(1)将二次项系数化为①1;
(2)将常数项移到方程的②右边;
(3)方程的两边都加上③一次项系数一半的平方,左边配成完全平方式;
(4)若方程的右边合并同类项后为④非负数,两边同时开方得方程的解.

答案： ①1 ②右边 ③一次项系数一半的平方 ④非负数

用配方法解方程$3x^{2}+8x - 3 = 0$时，配方正确的是(C)

答案： 1. 首先将方程$3x^{2}+8x - 3 = 0$进行变形：
方程两边同时除以$3$得：$x^{2}+\frac{8}{3}x - 1 = 0$。
移项得：$x^{2}+\frac{8}{3}x = 1$。
2. 然后进行配方：
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，对于$x^{2}+\frac{8}{3}x$，其中$a = x$，$2ab=\frac{8}{3}x$，则$b=\frac{4}{3}$。
在$x^{2}+\frac{8}{3}x$的两边同时加上$b^{2}=(\frac{4}{3})^{2}$得：
$x^{2}+\frac{8}{3}x+(\frac{4}{3})^{2}=1 + (\frac{4}{3})^{2}$。
左边根据完全平方公式$(x + b)^{2}$（这里$b=\frac{4}{3}$）可得$(x+\frac{4}{3})^{2}$，右边计算$1+\frac{16}{9}=\frac{9 + 16}{9}=\frac{25}{9}$。
所以一元二次方程$3x^{2}+8x - 3 = 0$经过配方后可变形为$(x+\frac{4}{3})^{2}=\frac{25}{9}$，答案是C。

用配方法解方程：$2x^{2}-4x - 7 = 0$。
解：
1. 首先将方程$2x^{2}-4x - 7 = 0$变形：
方程两边同时除以2得$x^{2}-2x-\frac{7}{2}=0$。
移项得$x^{2}-2x=$$\frac{7}{2}$。
2. 然后进行配方：
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，对于$x^{2}-2x$，这里$a = x$，$2ab = 2x$，则$b=$1。
在$x^{2}-2x$的两边同时加上1得$x^{2}-2x + 1=\frac{7}{2}+1$。
即$(x - 1)^{2}=\frac{7 + 2}{2}=$$\frac{9}{2}$。
3. 最后求解方程：
两边开平方得$x−1=\pm\sqrt{\frac{9}{2}}=\pm\frac{3}{\sqrt{2}}=\pm$$\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
解得$x = 1\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
所以$x_{1}=$$1+\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$x_{2}=$$1-\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

答案： 解：
1. 首先将方程$2x^{2}-4x - 7 = 0$变形：
方程两边同时除以$2$得$x^{2}-2x-\frac{7}{2}=0$。
移项得$x^{2}-2x=\frac{7}{2}$。
2. 然后进行配方：
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，对于$x^{2}-2x$，这里$a = x$，$2ab = 2x$，则$b = 1$。
在$x^{2}-2x$的两边同时加上$1$得$x^{2}-2x + 1=\frac{7}{2}+1$。
即$(x - 1)^{2}=\frac{7 + 2}{2}=\frac{9}{2}$。
3. 最后求解方程：
两边开平方得$x−1=\pm\sqrt{\frac{9}{2}}=\pm\frac{3}{\sqrt{2}}=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
解得$x = 1\pm\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
所以$x_{1}=1+\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$x_{2}=1-\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

(1) 分析错误步骤
小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是：方程两边同时除以2时，常数项-3没有除以2。
(2) 正确解题过程
解：$2x^{2}-8x + 3 = 0$
$2x^{2}-8x=-3$
$x^{2}-4x=-\frac{3}{2}$
$x^{2}-4x + 4=-\frac{3}{2}+4$
$(x - 2)^{2}=\frac{5}{2}$
$x - 2=\pm\sqrt{\frac{5}{2}}=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$
$x = 2\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$
所以$x_{1}=2+\frac{\sqrt{10}}{2}$，$x_{2}=2-\frac{\sqrt{10}}{2}$。

答案： $(1)$ 分析错误步骤
小颖的解答过程从第$\boldsymbol{②}$步开始出错，其错误的原因是：方程两边同时除以$2$时，常数项$-3$没有除以$2$。
$(2)$ 正确解题过程
解：$2x^{2}-8x + 3 = 0$
$2x^{2}-8x=-3$
$x^{2}-4x=-\frac{3}{2}$
$x^{2}-4x + 4=-\frac{3}{2}+4$
$(x - 2)^{2}=\frac{5}{2}$
$x - 2=\pm\sqrt{\frac{5}{2}}=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$
$x = 2\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$
所以$x_{1}=2+\frac{\sqrt{10}}{2}$，$x_{2}=2-\frac{\sqrt{10}}{2}$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{②}$；方程两边同时除以$2$时，常数项$-3$没有除以$2$；$(2)$ $x_{1}=2+\frac{\sqrt{10}}{2}$，$x_{2}=2-\frac{\sqrt{10}}{2}$ 。

答案： 解：
$\begin{aligned}2x^{2}+8x + 9&=2(x^{2}+4x)+9\\&=2(x^{2}+4x + 4 - 4)+9\\&=2((x + 2)^{2}-4)+9\\&=2(x + 2)^{2}-8 + 9\\&=2(x + 2)^{2}+1\end{aligned}$
因为$(x + 2)^{2}\geq0$，所以$2(x + 2)^{2}\geq0$，则$2(x + 2)^{2}+1\geq1\gt0$。
所以不论$x$为何值，代数式$2x^{2}+8x + 9$的值恒大于零。

对点训练1 把方程$2x^{2}-x-6=0$配方,化为$(x+m)^{2}=n$的形式为$(x-\frac {1}{4})^{2}=\frac {49}{16}$.

答案： $(x-\frac {1}{4})^{2}=\frac {49}{16}$

对点训练2 用配方法解方程:$2x^{2}-4x-3=0$.

答案： 解：$\because 2x^{2}-4x-3=0$，$\therefore 2x^{2}-4x=3$，
则$x^{2}-2x=\frac {3}{2}$，$\therefore x^{2}-2x+1=\frac {5}{2}$，
即$(x-1)^{2}=\frac {5}{2}$，$\therefore x-1=\pm \frac {\sqrt {10}}{2}$，
$\therefore x_{1}=1+\frac {\sqrt {10}}{2}$，$x_{2}=1-\frac {\sqrt {10}}{2}$。

对点训练3 数学课上,老师展示了班级某位同学解方程$3x^{2}-6x+1=0$的过程,其过程如下:
解:$3x^{2}-6x=-1$第一步
$x^{2}-2x=-1$第二步
$x^{2}-2x+1=-1+1$第三步
$(x-1)^{2}=0$第四步
$x_{1}=x_{2}=1$第五步
(1)第三步的依据是等式的基本性质1,
(2)该同学的解题过程从第二步开始出现错误,错误的原因是等式右边没有除以3.
(3)请直接写出该方程的正确解.$x_{1}=1+\frac {\sqrt {6}}{3}$，$x_{2}=1-\frac {\sqrt {6}}{3}$

答案： 解：（1）等式的基本性质1；
（2）该同学的解题过程从第二步开始出现错误，错误的原因是等式右边没有除以3。
故答案为二，等式右边没有除以3。
（3）$3x^{2}-6x+1=0$，$3x^{2}-6x=-1$，
$x^{2}-2x=-\frac {1}{3}$，$x^{2}-2x+1=-\frac {1}{3}+1$，
$(x-1)^{2}=\frac {2}{3}$，$x-1=\pm \frac {\sqrt {6}}{3}$，
$\therefore x_{1}=1+\frac {\sqrt {6}}{3}$，$x_{2}=1-\frac {\sqrt {6}}{3}$。