《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做①解直角三角形.
特别说明：解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图.
角角关系：两锐角互余，即$∠A + ∠B = 90°$.
边边关系：勾股定理，即$a^{2} + b^{2} = c^{2}$.
边角关系：锐角三角函数，即
$\sin A = \frac{a}{c}$，$\cos A = \frac{b}{c}$，$\tan A = \frac{a}{b}$，
$\sin B = \frac{b}{c}$，$\cos B = \frac{a}{c}$，$\tan B = \frac{b}{a}$.

答案： ①解直角三角形

【例1】(根据九年级北师大版教材P17习题1.5第2题改编)如图，在$Rt△ABC$中，$∠C = 90°$，$AB = 8\sqrt{2}$，$∠A = 45°$，求这个三角形的其他元素.

解:在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，
∴∠B=45°.
∵sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且sinA=$\frac{BC}{AB}$，cosA=$\frac{AC}{AB}$，AB=8$\sqrt{2}$
∴BC=AB·sinA=8，AC=AB·cosA=8.

答案： 解:在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，
∴sinA=cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∠B=45°.
∵sinA=$\frac{BC}{AB}$，cosA=$\frac{AC}{AB}$，AB=8$\sqrt{2}$
∴BC=AB·sinA=8，AC=AB·cosA=8.

在$Rt△ABC$中，$∠C = 90°$，$AB = 9$，$\cos B = \frac{2}{3}$，则$AC$的长为(D).
A. 6
B. $2\sqrt{5}$
C. $9\sqrt{5}$
D. $3\sqrt{5}$

答案： D