《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

8. 如图，已知经过原点的直线$AB$与反比例函数$y=kx^{-1}(k\neq 0)$的图象分别相交于点$A$和点$B$，过点$A$作$AC\perp x$轴于点$C$，若$\triangle ABC$的面积为 4，则$k$的值为(4)。

A. $2$
B. $4$
C. $6$
D. $8$

答案： B 解析：$\because$反比例函数与正比例函数的图象相交于$A$，$B$两点，$\therefore A$，$B$两点关于原点对称，$\therefore OA=OB$，$\therefore\triangle BOC$的面积$=\triangle AOC$的面积$=4\div2=2$。又$\because A$是反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上的点，且$AC\perp x$轴于点$C$，$\therefore\triangle AOC$的面积$=\frac{1}{2}\cdot|k|$，$\therefore\frac{1}{2}|k|=2$。$\because k\gt0$，$\therefore k=4$。

9. 如图，已知反比例函数$y_{1}=\frac {k}{x}$和一次函数$y_{2}=mx+n$的图象相交于$A(-3,a)$，$B(a+\frac {3}{2},-2)$两点，$O$为坐标原点，连接$OA$，$OB$。
(1)求$y_{1}=\frac {k}{x}$与$y_{2}=mx+n$的表达式；
$y_{1}=$$-\frac{9}{x}$，$y_{2}=$$-\frac{2}{3}x+1$
(2)当$y_{1}＞y_{2}$时，请结合图象直接写出自变量$x$的取值范围；
$-3\lt x\lt0$或$x\gt\frac{9}{2}$
(3)求$\triangle AOB$的面积。
$\frac{15}{4}$

答案： 解：（1）$\because$反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$和一次函数$y_2=mx+n$的图象相交于$A(-3,a)$，$B(a+\frac{3}{2},-2)$两点，$\therefore k=-3a=-2(a+\frac{3}{2})$，$\therefore a=3$，$\therefore A(-3,3)$，$B(\frac{9}{2},-2)$，$\therefore k=-3\times3=-9$，$\therefore y_1=-\frac{9}{x}$。把$A(-3,3)$，$B(\frac{9}{2},-2)$代入$y=mx+n$，得$\begin{cases}-3m+n=3\\\frac{9}{2}m+n=-2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-\frac{2}{3}\\n=1\end{cases}$，$\therefore y_2=-\frac{2}{3}x+1$。（2）由图象可知，当$y_1\gt y_2$时，自变量$x$的取值范围为$-3\lt x\lt0$或$x\gt\frac{9}{2}$。（3）若$AB$与$y$轴相交于点$C$，$\therefore C(0,1)$，$\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}OC(x_B-x_A)=\frac{1}{2}\times1\times(\frac{9}{2}+3)=\frac{15}{4}$。

10. 如图，平行四边形$ABCD$的对角线$BD$在$y$轴上，原点$O$为$BD$的中点，点$A$在第二象限内，$AD// x$轴，$E$为$AB$上一点，且$\triangle CDE$的面积为 4，若反比例函数$y=\frac {k}{x}$的图象经过点$A$，则$k$的值为______-4。

答案： $-4$ 解析：连接$AC$，则$AC$过点$O$（图略）。$\because\square ABCD$的对角线$BD$在$y$轴上，原点$O$为$BD$的中点，$\therefore OA=OC$，$OB=OD$，$S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}S_{\square ABCD}$，$S_{\triangle ADO}=\frac{1}{4}S_{\square ABCD}$。$\because\triangle CDE$的面积为$4$，$\therefore S_{\square ABCD}=8$，$S_{\triangle ADO}=2$。$\because AD// x$轴，$\therefore\frac{1}{2}|k|=2$，解得$k=\pm4$。$\because k\lt0$，$\therefore k=-4$。

11. 过原点作直线交双曲线$y=\frac {k}{x}(k＞0)$于点$A$，$C$，过$A$，$C$两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形$ABCD$，如图所示。
(1)已知矩形$ABCD$的面积等于 8，求双曲线的表达式。
答：双曲线的表达式为$y=$$\frac{2}{x}$。
(2)若已知矩形$ABCD$的周长为 8，能否由此确定双曲线的表达式？如果能，请求出；如果不能，说明理由。
答：不能，理由：设点$A(m,n)$，则$C(-m,-n)$，$B(m,-n)$，$D(-m,n)$，$AB=2n$，$BC=2m$，矩形周长为8可得$m+n=2$，$k=mn=m(2-m)=-m^2+2m$，$k$随$m$变化，无法确定$k$值。

答案： 解：（1）设点$A(m,n)$，则$C(-m,-n)$，$B(m,-n)$，$D(-m,n)$，$\because AB=2n$，$AD=2m$，矩形$ABCD$的面积等于$8$，$\therefore AB\times AD=4mn=8$，即$mn=2=k$，$\therefore$双曲线的表达式为$y=\frac{2}{x}$。（2）设点$A(m,n)$，则$C(-m,-n)$，$B(m,-n)$，$D(-m,n)$$\because AB=2n$，$BC=2m$，矩形$ABCD$的周长为$8$，$\therefore2(AB+BC)=8$，即$m+n=2$，$n=2-m$，则$k=mn=m(2-m)=-m^2+2m$，此时$k$会随$m$的变化而变化，所以无法确定$k$的值，所以不能由此确定双曲线的表达式。