《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

【例2】图1是抛物线形的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，建立如图2所示的平面直角坐标系，解答下列问题：

(1)如图2，求该抛物线的函数表达式；
解：设该抛物线的函数表达式为y = ax²，
由已知可得，点A的坐标为（−2，−2）且点A在该抛物线上，∴−2 = a×（−2）²，解得a = −$\frac{1}{2}$，
∴该抛物线的函数表达式为y = −$\frac{1}{2}$x².
(2)当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加了多少米？(结果保留根号)
解：将y = −3代入y = −$\frac{1}{2}$x²，得−3 = −$\frac{1}{2}$x²，解得x = ±$\sqrt{6}$，
∴CD = $\sqrt{6}$−（−$\sqrt{6}$）= 2$\sqrt{6}$. ∵AB = 4，∴CD−AB = 2$\sqrt{6}$−4，即水面宽度增加了（2$\sqrt{6}$−4）米.

答案： 解：（1）设该抛物线的函数表达式为y = ax²，
由已知可得，点A的坐标为（−2，−2）且点A在该抛物线上，
∴−2 = a×（−2）²，解得a = −$\frac{1}{2}$，
∴该抛物线的函数表达式为y = −$\frac{1}{2}$x².
（2）将y = −3代入y = −$\frac{1}{2}$x²，得−3 = −$\frac{1}{2}$x²，解得x = ±$\sqrt{6}$，
∴CD = $\sqrt{6}$−（−$\sqrt{6}$）= 2$\sqrt{6}$.
∵AB = 4，
∴CD−AB = 2$\sqrt{6}$−4，即水面宽度增加了（2$\sqrt{6}$−4）米.

对点训练2 如图，这是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米。
(1)作图：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系；
(2)在(1)的条件下进行下列探究：
①求抛物线的表达式；
②当水面下降多少米时，水面宽为8米？

答案：
解：（1）作图如图.

（2）①由题意，设抛物线的表达式为y = ax²，
∵AB = 6米，OC = 2米，
∴点B的坐标为（3，−2）.
将B（3，−2）的坐标代入y = ax²，得−2 = a×3²，
∴a = −$\frac{2}{9}$，
∴抛物线的表达式为y = −$\frac{2}{9}$x².
②由题意，水面宽8米，则x = 4，
∴y = −$\frac{32}{9}$，
∴拱顶离水面$\frac{32}{9}$米.
∵$\frac{32}{9}$−2 = $\frac{14}{9}$，
∴水面下降$\frac{14}{9}$米.

1. 如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=8，则四边形ABCD面积的最大值是(C)。

A. 4
B. 6
C. 8
D. 10

答案： C

2. 如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为x米的小路（阴影部分），空白处为绿地，面积为y平方米，则绿地面积y与x之间的函数表达式为(A)。

A. y=(30-2x)(20-x)
B. y=(30+x)(20-x)
C. y=(2x-30)(x-20)
D. y=(30-2x)(20+2x)

答案： A