《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

6. (2023秋·佛山校级月考)太阳能光伏发电因其清洁、安全、高效等特点,已成为世界各国重点发展的新能源产业. 图1是太阳能电板,图2是其截面示意图,其中GF为太阳能电板,AE,CD均为钢架且垂直于地面DE,AB为水平钢架且垂直于CD,测得$AG=CF=0.4m,BC=0.6m,AC=0.75m$. 若某一时刻的太阳光线垂直照射GF.

(1)求钢架AE的长;
(2)求太阳能电板GF的影子EH的长(结果保留小数点后两位).

答案：
解:　
(1)如图1，由题意，得AE⊥DE，CD⊥DE，AB⊥CD，GE⊥GF，FH⊥GF，
∴∠AED = ∠BDE = ∠ABD = 90°，∠AGE = ∠GFH = 90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴∠BAE = 90°，
∴∠1 + ∠2 = 90°,
又
∵在Rt△AEG中，∠AGE = 90°，
∴∠1 + ∠3 = 90°，
∴∠2 = ∠3.
又
∵∠AGE = ∠ABC = 90°，
∴△AEG∽△CAB，
∴$\frac{AG}{BC}$ = $\frac{AE}{CA}$.
∵AG = 0.4m,BC = 0.6m,AC = 0.75m,
∴$\frac{0.4}{0.6}$ = $\frac{AE}{0.75}$，
∴AE = $\frac{0.4×0.75}{0.6}$ = 0.5(m).
答:钢架AE的长为0.5m.

(2)如图2，过点E作EM⊥FH于点M，
∴∠EMF = 90°，
∴∠AGE = ∠GFH = ∠EMF = 90°，
∴四边形EGFM是矩形，
∴∠GEM = 90°，
∴∠3 + ∠4 = 90°.
又
∵∠AED = 90°，
∴∠4 + ∠5 = 90°，
∴∠3 = ∠5.
又
∵∠AGE = ∠EMH = 90°，
∴△AEG∽△HEM,
∴$\frac{AE}{EH}$ = $\frac{EG}{EM}$.
在Rt△AEG中，由勾股定理，得$AE^2 = AG^2 + EG^2$，
∴EG = $\sqrt{AE^2 - AG^2}$ = $\sqrt{0.5^2 - 0.4^2}$ = 0.3(m)，
∴EM = GF = AG + AC + CF = 0.4 + 0.75 + 0.4 = 1.55(m)，
∴$\frac{0.5}{EH}$ = $\frac{0.3}{1.55}$，
∴EH≈2.58(m).
答:太阳能电板GF的影子EH的长为2.58m.

7. (2024·凉山州)如图,一块面积为$60cm^{2}$的三角形硬纸板(记为$\triangle ABC$)平行于投影面时,在点光源O的照射下形成的投影是$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$,若$OB:BB_{1}=2:3$,则$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的面积是(D).

A. $90cm^{2}$
B. $135cm^{2}$
C. $150cm^{2}$
D. $375cm^{2}$

答案： D

8. 甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量,下面是他们通过测量得到的一些信息:
甲组:如图1,测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm.
乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.
丙组:如图3,测得校园景观灯(灯罩视为圆柱体,灯杆粗细忽略不计)的灯罩部分影长HQ为90cm,灯杆被阳光照射到的部分PG长为50cm,未被照射到的部分KP长为32cm.
(1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度.
(2)请根据甲、丙两组得到的信息,解答下列问题:
①求灯罩底面半径MK的长;
②正午时刻,太阳刚好直立于头顶,请尝试与丙组同学共同计算出此时灯罩的影子面积.
(1)答:学校旗杆的高度为12m.
(2)①灯罩底面半径MK的长为24cm.
②此时灯罩的影子面积为576πcm²。

答案： 解:　
(1)由题意，可知Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴$\frac{AB}{DE}$ = $\frac{AC}{DF}$，即$\frac{80}{DE}$ = $\frac{60}{900}$，
∴DE = 1200cm = 12m.
答:学校旗杆的高度为12m.
(2)①根据题意可知，Rt△GPH∽Rt△KPM∽Rt△ABC，
∴$\frac{AC}{GH}$ = $\frac{AB}{PG}$，$\frac{AC}{MK}$ = $\frac{AB}{PK}$，即$\frac{60}{GH}$ = $\frac{80}{50}$，$\frac{60}{MK}$ = $\frac{80}{32}$，
∴GH = 37.5cm,MK = 24cm,
∴灯罩底面半径MK的长为24cm.
②
∵太阳光为平行光，
∴正午时刻灯罩影子为圆形，面积为π×24² = 576π(cm²)。