《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

**知识点** 正方形的判定定理
(1)定理一 有一组①邻边相等的矩形是正方形.
几何语言:如图,∵四边形$ABCD$是矩形,$AB = AD$,
∴四边形$ABCD$是正方形.
(2)定理二 对角线②互相垂直的矩形是正方形.
几何语言:如图,∵四边形$ABCD$是矩形,$AC\perp BD$,
∴四边形$ABCD$是正方形.
温馨提示:使用判定定理一、二的前提条件是先证明四边形是矩形.
(3)定理三 有一个角是③直角的菱形是正方形.
几何语言:如图,∵四边形$ABCD$是菱形,$\angle ABC = 90^{\circ}$,
∴四边形$ABCD$是正方形.
(4)定理四 对角线④相等的菱形是正方形.
几何语言:如图,∵四边形$ABCD$是菱形,$AC = BD$,
∴四边形$ABCD$是正方形.
温馨提示:使用判定定理三、四的前提条件是先证明四边形是菱形.

答案： ①邻边相等　②互相垂直　③直角　④相等

**例1** 在四边形$ABCD$中,$\angle A=\angle B=\angle C = 90^{\circ}$.如果再添加一个条件可推导出四边形是正方形,那么这个条件可以是(B).
A. $AB = CD$
B. $BC = CD$
C. $\angle D = 90^{\circ}$
D. $AC = BD$

答案： B

**对点训练1** (2024秋·宝安区校级期中)如图,已知$□ ABCD$的对角线$AC$,$BD$交于点$O$,添加条件后,$□ ABCD$不一定是正方形的选项为(B).
A. $AB = AD$,$AC = BD$
B. $AB = BC$,$AC\perp BD$
C. $\angle BAD = 90^{\circ}$,$AC\perp BD$
D. $\angle AOD = 90^{\circ}$,$AO = DO$

答案： B

**例2** 如图,平行四边形$ABCD$的对角线互相垂直,要使$ABCD$成为正方形,还需添加的一个条件是∠ABC=90°.(只需添加一个即可)

答案： ∠ABC=90°　(答案不唯一)

**对点训练2** 如图,矩形$ABCD$的对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,再添加一个条件,使得四边形$ABCD$是正方形,这个条件可以是____AB=AD(答案不唯一).

答案： AB=AD(答案不唯一)