《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

7. 点$ A $，$ B $的坐标分别为$ (-2, 3) $和$ (1, 3) $，抛物线$ y = a(x - m)^2 + n $(其中$ a ＜ 0 $)的顶点在线段$ AB $上运动，与$ x $轴交于$ C $，$ D $两点($ C $在$ D $的左侧)，点$ C $的横坐标的最小值为$ -4 $，则点$ D $的横坐标的最大值为3。

答案： 3

8. 如图，已知二次函数$ y = (x + m)^2 + k $图象的顶点坐标为$ (1, -4) $，与$ x $轴交于点$ A $，$ B $(点$ A $在点$ B $左侧)。
(1) 求二次函数的表达式及$ A $，$ B $两点的坐标；
(2) 将二次函数的图象沿$ x $轴翻折，得到一个新的抛物线，求新抛物线的表达式。

答案：
解：（1）y=x²−2x−3，A（-1，0），B（3，0）.
（2）y=−x²+2x+3.

9. 如图，抛物线$ y = a(x + 1)^2 $的顶点为$ A $，与$ y $轴的负半轴交于点$ B $，且$ OB = OA $。
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 若点$ C(-3, b) $在该抛物线上，求$ \triangle ABC $的面积。

(1) 抛物线的表达式为$y=-(x + 1)^2$。
(2) $\triangle ABC$的面积为3。

答案： 解：（1）由题意得A（-1，0），
∵OB = OA，
∴B（0，-1），
将B点坐标代入表达式，可求得a = -1，
∴抛物线的表达式为y=-(x + 1)².
（2）
∵点C（-3，b）在抛物线上，
∴b = -(-3 + 1)² = -4.
如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
则S△ABC = S四边形OBCD - S△AOB - S△ACD = $\frac{1}{2}$×(1 + 4)×3 - $\frac{1}{2}$×1×1 - $\frac{1}{2}$×4×2 = 3.