《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 黄金分割的定义
如图，在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果$\frac {AC}{AB}=\frac {BC}{AC}$，那么称线段AB被点C①黄金分割，点C叫做线段AB的②黄金分割点，AC与AB的比叫做③黄金比。
特别说明：1. $AC=\frac {\sqrt {5}-1}{2}AB\approx 0.618AB(\frac {\sqrt {5}-1}{2}$叫做黄金分割值)。简记为$\frac {长}{全}=\frac {短}{长}=\frac {\sqrt {5}-1}{2}$。
2. 一条线段的黄金分割点有两个。
3. 黄金三角形的概念：顶角是$36^{\circ }$的等腰三角形。
4. 黄金矩形的概念：宽与长的比等于黄金数的矩形。

答案： ①黄金分割 ②黄金分割点 ③黄金比

【例1】如图，点C是线段AB的黄金分割点，且$AC＞BC$，则下列各式正确的是(C)。
A. $CB^{2}=AC\cdot AB$
B. $AB^{2}=AC\cdot CB$
C. $AC^{2}=BC\cdot AB$
D. $AC^{2}=2BC\cdot AB$

答案： C

对点训练1 如图所示，点C是线段AB的黄金分割点$(AC＜BC)$，下列结论中错误的是(B)。
A. $\frac {BC}{AB}=\frac {AC}{BC}$
B. $AC^{2}=AB\cdot BC$
C. $\frac {BC}{AB}=\frac {\sqrt {5}-1}{2}$
D. $\frac {AC}{BC}\approx 0.618$

答案： B

知识点2 黄金分割的应用
扩展：作一条线段的黄金分割点。
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：(1)经过点B作$BD⊥AB$，使$BD=\frac {1}{2}AB$。(2)连接AD，在DA上截取$DE=DB$。(3)在AB上截取$AC=AE$。则点C为线段AB的黄金分割点。
设$AB = 2a$，因为$BD=\frac{1}{2}AB$，所以$BD = DE=a$。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{AB^{2}+BD^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=\sqrt{4a^{2}+a^{2}}=\sqrt{5a^{2}}=\sqrt{5}a$。
则$AE = AD - DE=\sqrt{5}a - a=(\sqrt{5}-1)a$，所以$AC = AE = (\sqrt{5}-1)a$。
那么$\frac{AC}{AB}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx\frac{2.236 - 1}{2}=\frac{1.236}{2}=0.618$，符合黄金分割的比例关系，所以点$C$为线段$AB$的黄金分割点。
【答案】：点C为线段AB的黄金分割点

答案： 【解析】：设$AB = 2a$，因为$BD=\frac{1}{2}AB$，所以$BD = DE=a$。
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{AB^{2}+BD^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=\sqrt{4a^{2}+a^{2}}=\sqrt{5a^{2}}=\sqrt{5}a$。
则$AE = AD - DE=\sqrt{5}a - a=(\sqrt{5}-1)a$，所以$AC = AE = (\sqrt{5}-1)a$。
那么$\frac{AC}{AB}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx\frac{2.236 - 1}{2}=\frac{1.236}{2}=0.618$，符合黄金分割的比例关系，所以点$C$为线段$AB$的黄金分割点。
【答案】：点$C$为线段$AB$的黄金分割点。

【例2】(根据九年级北师大版教材P96想一想改编)两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点$(AP＞BP)$，若满足$\frac {BP}{AP}=\frac {AP}{AB}$，则称点P是AB的黄金分割点。若图中$AB=8$，求BP的长度。

解：设BP的长度是x，则AP=AB−BP=8−x.
∵$\frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}$，∴$\frac{x}{8−x}=\frac{8−x}{8}$，
解得$x_1=12−4\sqrt{5}$，$x_2=12+4\sqrt{5}$.
经检验，$x_1=12−4\sqrt{5}$，$x_2=12+4\sqrt{5}$都是方程的根，
∵$x_2=12+4\sqrt{5}＞8$，∴$x_2=12+4\sqrt{5}$不合题意，舍去，
∴$x=$$12−4\sqrt{5}$，即BP的长度是$12−4\sqrt{5}$.

答案： 解：设BP的长度是x，则AP=AB−BP=8−x.
∵$\frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{x}{8−x}=\frac{8−x}{8}$，
解得$x_1=12−4\sqrt{5}$，$x_2=12+4\sqrt{5}$.
经检验，$x_1=12−4\sqrt{5}$，$x_2=12+4\sqrt{5}$都是方程的根，
∵$x_2=12+4\sqrt{5}＞8$，
∴$x_2=12+4\sqrt{5}$不合题意，舍去，
∴$x=12−4\sqrt{5}$，即BP的长度是$12−4\sqrt{5}$.

对点训练2 (2025·深圳模拟)玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符。实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比(约等于0.618)时(如图)，可以敲击出音符“sol”的声音。若$AB=10cm$，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为(C)。
A. 3.82cm
B. 5cm
C. 6.18cm
D. 7.2cm

答案： C