《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

11. 如图，四边形 ABCD 为菱形，AB=6，∠A=60°，连接四边形 ABCD 的中点得到四边形 EFGH，则四边形 EFGH 的面积为(D).A. 9√6B. 6√6C. 18√3D. 9√3

答案： 11. D

12. 如图，在矩形 ABCD 中，E，F，G，H 分别为边 AB，BC，CD，DA 的中点，若 AB=5，AD=8，则图中阴影部分四边形 EFGH 的面积为(C).

A. 40
B. 26
C. 20
D. 13

答案： 12. C

13. 如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD，AD=BC，AC=BD，点 O 为 AC，BD 的交点，点 P，R，Q 分别为 AO，DO，BC 的中点，∠AOB=60°.
(1)求证：OC=OD；
(2)求证：△PQR 为等边三角形.

答案：
13. 证明：（1）$\because AD = BC$，$AC = BD$，$DC = CD$，
$\therefore \triangle ADC \cong \triangle BCD$（SSS）.
$\therefore \angle ACD = \angle BDC$. $\therefore OC = OD$.

（2）如图，连接 $RC$.
$\because AC = BD$，$OD = OC$，$\therefore OA = OB$.
$\because \angle AOB = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle AOB$，$\triangle DOC$ 都是等边三角形.
$\because$ 点 $R$ 是 $DO$ 的中点，$\therefore CR \perp OD$.
在 $Rt\triangle BRC$ 中，$\because$ 点 $Q$ 是斜边 $BC$ 的中点，$\therefore RQ = \frac{1}{2}BC$.
如图，连接 $PB$. 同理可证：$PQ = \frac{1}{2}BC$.
$\because PR$ 是 $\triangle AOD$ 的中位线，$\therefore PR = \frac{1}{2}AD$.
$\because AD = BC$，$\therefore RQ = PQ = PR$，
$\therefore \triangle PQR$ 是等边三角形.

14. 如图，两个全等的直角三角形(△ABC 和△ADC)按照斜边重合摆放，E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 的中点.
(1)判断并证明四边形 EFGH 的形状；
四边形 EFGH 为矩形.
证明：连接 BD，如图，
∵△ABC ≌△ADC，
∴AB = AD，CB = CD，
∴AC 垂直平分 BD.
∵E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 的中点，
∴EF = 1/2AC，EF // AC，HG = 1/2AC，HG // AC，EH // BD，EH = 1/2BD，
∴EF = HG，EF // HG，∴四边形 EFGH 为平行四边形.
∵EF // AC，EH // BD，AC ⊥ BD，
∴EF ⊥ EH，∴∠HEF = 90°，
∴四边形 EFGH 为矩形.
(2)若∠BAC=30°，AC=6，求四边形 EFGH 的面积.
在 Rt△ABC 中，∵∠BAC = 30°，
∴BC = 1/2AC = 3，
∴AB = √3BC = 3√3.
∵∠DAC = ∠BAC = 30°，AB = AD，
∴△ABD 为等边三角形，
∴BD = AB = 3√3，∴EH = 1/2BD = 3√3/2.
∵EF = 1/2AC = 3，
∴四边形 EFGH 的面积为 EH · EF = 3√3/2×3= 9√3/2.

答案： 14. 解：（1）四边形 $EFGH$ 为矩形.
证明：连接 $BD$，如图，
$\because \triangle ABC \cong \triangle ADC$，
$\therefore AB = AD$，$CB = CD$，
$\therefore AC$ 垂直平分 $BD$.
$\because E$，$F$，$G$，$H$ 分别为 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 的中点，
$\therefore EF = \frac{1}{2}AC$，$EF // AC$，$HG = \frac{1}{2}AC$，$HG // AC$，$EH // BD$，$EH = \frac{1}{2}BD$，
$\therefore EF = HG$，$EF // HG$，$\therefore$ 四边形 $EFGH$ 为平行四边形.
$\because EF // AC$，$EH // BD$，$AC \perp BD$，
$\therefore EF \perp EH$，$\therefore \angle HEF = 90^{\circ}$，
$\therefore$ 四边形 $EFGH$ 为矩形.
（2）在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\because \angle BAC = 30^{\circ}$，
$\therefore BC = \frac{1}{2}AC = 3$，
$\therefore AB = \sqrt{3}BC = 3\sqrt{3}$.
$\because \angle DAC = \angle BAC = 30^{\circ}$，$AB = AD$，
$\therefore \triangle ABD$ 为等边三角形，
$\therefore BD = AB = 3\sqrt{3}$，$\therefore EH = \frac{1}{2}BD = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
$\because EF = \frac{1}{2}AC = 3$，
$\therefore$ 四边形 $EFGH$ 的面积为 $EH \cdot EF = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 3 = \frac{9\sqrt{3}}{2}$.