《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

1. 已知二次函数y = ax² + bx的图象经过点(-2,8)和(-1,5),这个二次函数的表达式为$y = - x^2 - 6x$.

答案： $y = - x^2 - 6x$

2. 某抛物线的形状、开口方向都与抛物线y = $\frac{1}{2}x²$相同,顶点坐标为(1,-2),则该抛物线的表达式为$y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - 2$.

答案： $y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - 2$

3. 已知二次函数y = (x - 2)² + m的图象经过A(1,0),则此二次函数的表达式为$y = (x - 2)^2 - 1$.

答案： $y = (x - 2)^2 - 1$

4. 如果一条抛物线的形状与y = -$\frac{1}{2}x²$ + 2的形状和开口方向均相同,且顶点坐标是(-4,2),那么它的函数表达式为$y = - \frac{1}{2}(x + 4)^2 + 2$.

答案： $y = - \frac{1}{2}(x + 4)^2 + 2$

5. 抛物线y = ax² + bx + c的顶点坐标为(3,-2),与x轴两个交点间的距离为4,求抛物线的表达式.

答案： 解:设抛物线的表达式为$y = a(x - 3)^2 - 2$，
∵抛物线的对称轴是直线$x = 3$，与$x$轴两个交点间的距离为4，
∴抛物线$y = a(x - 3)^2 - 2$过点$(1,0)$，
∴$(1 - 3)^2a - 2 = 0$，解得$a = \frac{1}{2}$，
∴抛物线的表达式为$y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$。

6. 抛物线y = -x² + bx + c经过点A(-1,0),B(0,3).
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)如图,点P是抛物线对称轴上一点,连接AP,BP,当AP + BP最小时,求点P的坐标.

答案：
解:　
(1)把$A(- 1,0)$，$B(0,3)$的坐标分别代入$y = - x^2 + bx + c$，得$\begin{cases}- 1 - b + c = 0\\c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 2\\c = 3\end{cases}$，
∴抛物线的表达式为$y = - x^2 + 2x + 3$。
(2)抛物线与$x$轴的另一个交点为$C$，
∵$y = - x^2 + 2x + 3 = - (x - 1)^2 + 4$，
∴抛物线的对称轴为直线$x = 1$。
当$y = 0$时，$- x^2 + 2x + 3 = 0$，
解得$x_1 = - 1$，$x_2 = 3$，
∴$C(3,0)$。
如图，连接$BC$交直线$x = 1$于点$P$，

∵$PA = PC$，
∴$PA + PB = PB + PC = BC$，
∴此时$PA + PB$最小。
设直线$BC$的表达式为$y = mx + n$，
把$C(3,0)$，$B(0,3)$的坐标分别代入，得$\begin{cases}3m + n = 0\\n = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = - 1\\n = 3\end{cases}$，
∴直线$BC$的表达式为$y = - x + 3$。
当$x = 1$时，$y = - x + 3 = 2$，
∴点$P$的坐标为$(1,2)$。