《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

对点训练1 用公式法解方程$x^{2}+2x=-3$时，首先要确定$a,b,c$的值，下列叙述正确的是(C).
A. $a=1,b=2,c=-3$
B. $a=1,b=2,c=0$
C. $a=1,b=2,c=3$
D. $a=0,b=2,c=-3$

答案： 【解析】：本题可先将方程化为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式确定$a$、$b$、$c$的值。
一元二次方程的一般形式是$ax^{2}+bx+c = 0$（$a\neq0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
将方程$x^{2}+2x = -3$移项化为一般形式为$x^{2}+2x + 3 = 0$，此时方程中二次项系数$a = 1$，一次项系数$b = 2$，常数项$c = 3$。
【答案】：C

一元二次方程$x^{2}+4x-9=0$的根的判别式的值是52.

答案： 【解析】：对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0$（$a\neq0$），其根的判别式为$\Delta=b^{2}-4ac$。在方程$x^{2}+4x - 9 = 0$中，$a = 1$，$b = 4$，$c = - 9$，将其代入根的判别式公式可得：$\Delta = 4^{2}-4\times1\times(-9)=16 + 36 = 52$。
【答案】：52

已知关于$x$的一元二次方程$(k-2)x^{2}+2x-1=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是$k＞1且k\neq2$。

答案： $\boldsymbol{k＞1且k\neq2}$。

对点训练4 用公式法解方程：$2x^{2}+4x-3=0$.

答案： 【解析】：对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$2x^{2}+4x - 3 = 0$中，$a = 2$，$b = 4$，$c = - 3$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，将$a = 2$，$b = 4$，$c = - 3$代入可得：
$\Delta=4^{2}-4\times2\times(-3)=16 + 24 = 40$。
再把$a = 2$，$b = 4$，$\Delta = 40$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，可得：
$x=\frac{-4\pm\sqrt{40}}{2\times2}=\frac{-4\pm2\sqrt{10}}{4}=\frac{-2\pm\sqrt{10}}{2}$。
【答案】：$x_{1}=\frac{-2 + \sqrt{10}}{2}$，$x_{2}=\frac{-2 - \sqrt{10}}{2}$

1. (2024秋·南山区期中)不解方程，判断方程$3x^{2}-4x+1=0$的根的情况是(B).
A. 有两个相等的实根
B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定

答案： B

2. 关于$x$的方程$ax^{2}+(1-a)x-1=0$，下列结论正确的是(BC).
A. 当$a=0$时，方程无实数根
B. 当$a=-1$时，方程只有一个实数根
C. 当$a=1$时，方程有两个不相等的实数根
D. 当$a≠0$时，方程有两个相等的实数根

答案： BC

3. 一元二次方程$2x^{2}+3x-1=0$的根的判别式$\Delta$的值为17.

答案： 17

4. (2024秋·罗湖区校级月考)若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x+k=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是______$k\lt1$.

答案： $k\lt1$

5. 解方程：$3x^{2}-5x+1=0$. (用公式法求解)

答案： 【解析】：对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$3x^{2}-5x + 1 = 0$中，$a = 3$，$b=-5$，$c = 1$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\times3\times1=25 - 12 = 13\gt0$，说明方程有两个不同的实数根。
将$a = 3$，$b=-5$，$\Delta = 13$代入求根公式可得：
$x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{13}}{2\times3}=\frac{5\pm\sqrt{13}}{6}$。
【答案】：$x_{1}=\frac{5 + \sqrt{13}}{6}$，$x_{2}=\frac{5 - \sqrt{13}}{6}$

6. 解方程：$2x^{2}+5x+1=0$. (用公式法求解)

答案： 【解析】：对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。在方程$2x^{2}+5x + 1 = 0$中，$a = 2$，$b = 5$，$c = 1$。先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，将$a = 2$，$b = 5$，$c = 1$代入可得$\Delta=5^{2}-4\times2\times1=25 - 8 = 17$。因为$\Delta＞0$，所以方程有两个不同的实数根，再将$a = 2$，$b = 5$，$\Delta = 17$代入求根公式可得$x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2\times2}=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{4}$。
【答案】：$x_{1}=\frac{-5 + \sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{-5 - \sqrt{17}}{4}$

7. (2024秋·龙华区校级期中)已知关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^{2}-6x+3=0$.
(1)若方程的一个根为$x=-1$，求$a$的值；$-8$
(2)若方程有实数根，求满足条件的正整数$a$的值.$2$，$3$，$4$

答案： 【解析】：1. 对于（1），已知方程$(a - 1)x^{2}-6x + 3 = 0$的一个根为$x = - 1$，将$x=-1$代入方程可得：
把$x = - 1$代入$(a - 1)x^{2}-6x + 3 = 0$，得到$(a - 1)\times(-1)^{2}-6\times(-1)+3 = 0$。
即$(a - 1)\times1 + 6 + 3 = 0$，也就是$a - 1+6 + 3 = 0$。
进一步化简得$a+8 = 0$，解得$a=-8$。
2. 对于（2），因为方程$(a - 1)x^{2}-6x + 3 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数$a - 1\neq0$，即$a\neq1$。
又因为方程有实数根，所以判别式$\Delta=b^{2}-4ac\geq0$，在方程$(a - 1)x^{2}-6x + 3 = 0$中，$a=a - 1$，$b=-6$，$c = 3$。
则$\Delta=(-6)^{2}-4\times(a - 1)\times3\geq0$。
先计算$(-6)^{2}=36$，则$36-12(a - 1)\geq0$。
去括号得$36-12a + 12\geq0$。
合并同类项得$48-12a\geq0$。
移项得$12a\leq48$，解得$a\leq4$。
结合$a\neq1$且$a$为正整数，所以$a$的值为$2$，$3$，$4$。
【答案】：1. $a=-8$ 2. $2$，$3$，$4$

8. 关于$x$的方程$x^{2}-2x+2m-1=0$有两个不相等的实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)若方程有一个根为0，求此时$m$的值.

答案： 【解析】：1. 对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，当$\Delta\gt0$时，方程有两个不相等的实数根。在方程$x^{2}-2x + 2m - 1 = 0$中，$a = 1$，$b=-2$，$c = 2m - 1$，所以$\Delta=(-2)^{2}-4\times1\times(2m - 1)$。因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta\gt0$，即$(-2)^{2}-4\times1\times(2m - 1)\gt0$，展开式子得$4-8m + 4\gt0$，进一步得到$8-8m\gt0$，移项可得$8m\lt8$，解得$m\lt1$。
2. 已知方程$x^{2}-2x + 2m - 1 = 0$有一个根为$0$，把$x = 0$代入方程$x^{2}-2x + 2m - 1 = 0$中，得到$0^{2}-2\times0+2m - 1 = 0$，即$2m-1 = 0$，移项可得$2m = 1$，解得$m=\frac{1}{2}$。
【答案】：1.$m\lt1$ 2.$m=\frac{1}{2}$