《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

【例2】(根据九年级北师大版教材P100定理证明改编)如图,在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中,已知$\angle A=\angle A',\frac {AB}{A'B'}=\frac {AC}{A'C'}$.求证:$\triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$.请补全下面的证明过程.

证明:在$\triangle A'B'C'$的边$A'B'$上取点$D$,使$A'D=AB$.
过点$D$作$DE// B'C'$,交$A'C'$于点$E$.
$\because DE// B'C',\therefore \angle A'DE=\angle$$B ^ { \prime }$.
$\because \angle A'=\angle A',\therefore \triangle$$A ^ { \prime } D E$$\backsim \triangle$$A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime }$(两角分别相等的两个三角形相似).
$\therefore$$\frac { A ^ { \prime } D } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { A ^ { \prime } E } { A ^ { \prime } C ^ { \prime } }$.$\because A'D=AB,\frac {AB}{A'B'}=\frac {AC}{A'C'},$
$\therefore$$\frac { A ^ { \prime } D } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { A ^ { \prime } E } { A ^ { \prime } C ^ { \prime } } = \frac { A C } { A ^ { \prime } C ^ { \prime } }$.$\therefore A'E=AC.$
又$\angle A'=\angle A,\therefore \triangle$$A ^ { \prime } D E$$\cong \triangle$$A B C$($S A S$).
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'.$

答案： $B ^ { \prime }$ $A ^ { \prime } D E$ $A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime }$ $\frac { A ^ { \prime } D } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { A ^ { \prime } E } { A ^ { \prime } C ^ { \prime } }$ $\frac { A ^ { \prime } D } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { A ^ { \prime } E } { A ^ { \prime } C ^ { \prime } } = \frac { A C } { A ^ { \prime } C ^ { \prime } }$ $A ^ { \prime } D E$ $A B C$ $S A S$

对点训练2 如图,四边形$ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于点$O$,$OD=2OA,OC=2OB$.求证:$\triangle AOB\backsim \triangle DOC$.
证明：$\because OD = 2OA$，$OC = 2OB$，$\therefore \frac{OA}{OD} = \frac{OB}{OC} = \frac{1}{2}$。又$\angle AOB = \angle DOC$，$\therefore \triangle AOB \backsim \triangle DOC$。

答案： 证明：$\because O D = 2 O A$，$O C = 2 O B$，
$\therefore \frac { O A } { O D } = \frac { O B } { O C } = \frac { 1 } { 2 }$。又$\angle A O B = \angle D O C$，$\therefore \triangle A O B \backsim \triangle D O C$。

知识点3 定理3 ③三边成比例的两个三角形相似.
几何语言:如图,$\because \frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {AC}{A'C'},\therefore \triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'.$
特别说明:判定定理3是利用判定定理2证明的,还是通过作辅助线,把一个三角形转移、构建到另一个三角形中,然后运用刚刚证明的相似三角形的判定定理2来证明本判定定理,在证明过程中注意运用比例变换和等量代换、恒等变形等知识点,体现了数学的转化思想.

答案： 三边成比例

【例3】如图,在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中,$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=\frac {AC}{A'C'}$.求证:$\triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'.$

证明：在$\triangle A B C$的边$A B$，$A C$上分别截取$A D = A ^ { \prime } B ^ { \prime }$，$A E = A ^ { \prime } C ^ { \prime }$，连接$D E$（图略）。
$\because \angle B A C = \angle D A E$，$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，$\therefore \triangle A B C \backsim \triangle A D E$（SAS）。$\therefore \frac { A B } { A D } = \frac { B C } { D E } = \frac { A C } { A E }$。
又$\frac { A B } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { B C } { B ^ { \prime } C ^ { \prime } }$，$A D = A ^ { \prime } B ^ { \prime }$，$\therefore \frac { A B } { A D } = \frac { B C } { B ^ { \prime } C ^ { \prime } }$。$\therefore \frac { B C } { D E } = \frac { B C } { B ^ { \prime } C ^ { \prime } }$。
$\therefore D E = B ^ { \prime } C ^ { \prime }$。
$\because \frac { A B } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { A C } { A ^ { \prime } C ^ { \prime } }$，$A D = A ^ { \prime } B ^ { \prime }$，$\frac { A B } { A D } = \frac { A C } { A E }$，$\therefore A E = A ^ { \prime } C ^ { \prime }$。
$\because AD=A'B'$，$AE=A'C'$，$DE=B'C'$，$\therefore \triangle A D E \cong \triangle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime }$（SSS）。$\therefore \angle ADE=\angle A'B'C'$，$\angle AED=\angle A'C'B'$。$\because \triangle ABC\backsim\triangle ADE$，$\therefore \angle ABC=\angle ADE$，$\angle ACB=\angle AED$。$\therefore \angle ABC=\angle A'B'C'$，$\angle ACB=\angle A'C'B'$。$\therefore \triangle A B C \backsim \triangle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime }$（AA）。

答案： 证明：在$\triangle A B C$的边$A B$，$A C$上分别截取$A D = A ^ { \prime } B ^ { \prime }$，$A E = A ^ { \prime } C ^ { \prime }$，连接$D E$（图略）。
$\because \angle B A C = \angle D A E$，$\therefore \triangle A B C \backsim \triangle A D E$。$\therefore \frac { A B } { A D } = \frac { B C } { D E } = \frac { A C } { A E }$。
又$\frac { A B } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { B C } { B ^ { \prime } C ^ { \prime } }$，$A D = A ^ { \prime } B ^ { \prime }$，$\therefore \frac { A B } { A D } = \frac { B C } { B ^ { \prime } C ^ { \prime } }$。$\therefore \frac { B C } { D E } = \frac { B C } { B ^ { \prime } C ^ { \prime } }$。
$\therefore D E = B ^ { \prime } C ^ { \prime }$。
$\because \frac { A B } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { A C } { A ^ { \prime } C ^ { \prime } }$，$A D = A ^ { \prime } B ^ { \prime }$，$\frac { A B } { A D } = \frac { A C } { A E }$，$\therefore A E = A ^ { \prime } C ^ { \prime }$。
$\therefore \triangle A D E \cong \triangle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime }$（$S S S$）。$\therefore \triangle A B C \backsim \triangle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime }$。

对点训练3 (根据九年级北师大版教材P102习题4.9第1题改编)如图,在三角形$ABC$中,$AB=BC=AC$,$D$,$E$,$F$分别是三边的中点,请问$\triangle DEF\backsim \triangle ABC$吗? 说说理由.

答案： 解：$\triangle D E F \backsim \triangle A B C$。理由：由$A B = B C = A C$可得$\triangle A B C$是等边三角形。又因为$D$，$E$，$F$分别是$\triangle A B C$三边的中点，所以$\triangle A D E \cong \triangle B E F \cong \triangle C F D$，所以$\triangle D E F$是等边三角形，因此$\triangle D E F \backsim \triangle A B C$。