《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 用树状图或表格求概率的适用条件
(1)当一次试验涉及①两个因素，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能出现的结果，常采用列表法。
(2)当一次试验涉及②三个或更多个因素时，用表格就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能出现的结果，通常采用画树状图法，如从三个口袋中取球。
注意：在摸球游戏中，“有放回”与“无放回”直接影响第二次等可能的结果，“有放回”包含放回的这个球，“无放回”则不包含这个球。需注意“一次拿两个球”与“无放回”是同一种类型。

答案： ①两个因素　②三个或更多个因素

【例1】(2024·南山区校级一模)不透明的袋子中装了2个红球，1个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个球，摸出1个红球1个黑球的概率为$\frac{1}{3}$。

答案： 【例1】$\frac{1}{3}$　

对点训练1 不透明袋子中装有2个黑球、3个白球，这些球除了颜色外无其他差别。从袋子中随机摸出2个球，“摸到黑球”的概率是$\frac{7}{10}$。

答案： 对点训练1　$\frac{7}{10}$

【例2】中秋佳节将至，妈妈买了4个月饼，分别是2个红枣味和2个蛋黄味，小妍随意吃两个恰好都是蛋黄味的概率是$\frac{1}{6}$。

答案： 【例2】$\frac{1}{6}$　

对点训练2 (2024·深圳模拟)从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片(大小、形状完全相同)中随机抽取两张，则这两张卡片上面恰好写着“加”“油”两个字的概率是(D)。
A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{1}{20}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{1}{10}$

答案： 对点训练2　D

【例3】在一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，这三个球只有颜色不同。
(1)从中先摸出一个球，记录下它的颜色，将它放回，搅匀，再摸出一个球，记录下颜色，利用画树状图或表格的方式求摸出两个球的颜色是“一红一黄”的概率。
(2)从中摸出一个球后不放回，再摸出一个球，求摸出两个球的颜色是“一红一黄”的概率。

答案： 解:　
(1)列表如下:
| | 红 | 黄 | 蓝 |
| --- | --- | --- | --- |
| 红 | （红，红） | （黄，红） | （蓝，红） |
| 黄 | （红，黄） | （黄，黄） | （蓝，黄） |
| 蓝 | （红，蓝） | （黄，蓝） | （蓝，蓝） |
由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中摸出两个球的颜色是“一红一黄”的结果有2种，
∴摸出两个球的颜色是“一红一黄”的概率为$\frac{2}{9}$.
(2)列表如下:
| | 红 | 黄 | 蓝 |
| --- | --- | --- | --- |
| 红 | | （黄，红） | （蓝，红） |
| 黄 | （红，黄） | | （蓝，黄） |
| 蓝 | （红，蓝） | （黄，蓝） | |
由表格可知，一共有6种等可能的结果，其中摸出两个球的颜色是“一红一黄”的结果数有2种，
∴摸出两个球的颜色是“一红一黄”的概率为$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$.

对点训练3 从一副扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为1，2，2，3，将这四张扑克牌背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记录下数字后放回，称为抽牌一次。
(1)若随机抽牌一次，抽到数字2的概率为____。
(2)将这四张扑克牌背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张。请利用“列表”或“画树状图”的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为偶数的概率。

答案：
解:　
(1)$\frac{1}{2}$　　
(2)画树状图如图所示.

共有12种等可能的结果，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为偶数的有4种，故抽取的这两张牌的牌面数字之和为偶数的概率为$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$.