《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

【例3】如图,菱形$ABCD$中,$E$,$F$分别在边$AD$,$AB$上,$DE = BF$.求证:$EC = FC$.

证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠D=∠B，CD=BC.
在△DEC和△BFC中，$\left\{ \begin{array} { l } { D E = B F , } \\ { \angle D = \angle B , } \\ { C D = C B , } \end{array} \right.$
∴△DEC≌△BFC（SAS），∴EC=FC.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D=∠B，CD=BC.
在△DEC和△BFC中，$\left\{ \begin{array} { l } { D E = B F , } \\ { \angle D = \angle B , } \\ { C D = C B , } \end{array} \right.$
∴△DEC≌△BFC（SAS），
∴EC=FC.

对点训练3 如图,四边形$ABCD$是菱形,$BE\perp AD$,$BF\perp CD$,垂足分别为$E$,$F$.求证:$BE = BF$.

证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠A=∠C.
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠AEB=∠CFB=90°.
在△ABE和△CBF中，$\left\{ \begin{array} { l } { \angle A = \angle C , } \\ { A B = C B , } \\ { \angle A E B = \angle C F B = 9 0 ^ { \circ } , } \end{array} \right.$
∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BE=BF.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠A=∠C.
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠AEB=∠CFB=90°.
在△ABE和△CBF中，$\left\{ \begin{array} { l } { \angle A = \angle C , } \\ { A B = C B , } \\ { \angle A E B = \angle C F B = 9 0 ^ { \circ } , } \end{array} \right.$
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE=BF.

1. 若菱形$ABCD$的周长为$16\mathrm{cm}$,则$AB$等于(B).
A. $2\mathrm{cm}$
B. $4\mathrm{cm}$
C. $8\mathrm{cm}$
D. $10\mathrm{cm}$

答案： B

2. (2024秋·龙岗区校级期中)下列性质中菱形一定具有的是(C).
A. 对角线相等
B. 有一个角是直角
C. 对角线互相垂直
D. 四个角相等

答案： C

3. 如图,在菱形$ABCD$中,$\angle ABC = 80^{\circ}$,$BA = BE$,则$\angle BAE =$$70^{\circ}$.

答案： $70^{\circ}$

4. (2024秋·龙华区校级期中)如图,在菱形$ABCD$中,$AB = 10$,$\angle A = 120^{\circ}$,则$BD$的长为____$10 \sqrt { 3 }$.

答案： $10 \sqrt { 3 }$

5. 如图,把菱形$ABCD$沿$AH$折叠,使$B$点落在$BC$上的$E$点处,若$\angle B = 70^{\circ}$,则$\angle EDC$的大小为$15^{\circ}$.

答案： $15^{\circ}$

6. (2024·龙岗区校级开学)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,菱形$OABC$,$O$为坐标原点,点$C$在$x$轴上,点$A$的坐标为$(-3,4)$,则顶点$B$的坐标是____$(-8,4)$.

答案： $(-8,4)$

7. 如图,菱形$ABCD$中,作$BE\perp AD$,$CF\perp AB$,分别交$AD$,$AB$的延长线于点$E$,$F$.
(1)求证:$AE = BF$;
(2)若点$E$恰好是$AD$的中点,$AB = 2$,求$CF$的值为$\sqrt{3}$.

答案： （1）证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD//BC，
∴∠A=∠CBF.
∵BE⊥AD，CF⊥AB，
∴∠AEB=∠BFC=90°.
在△AEB和△BFC中，$\left\{ \begin{array} { l } { \angle A E B = \angle B F C , } \\ { \angle A = \angle C B F , } \\ { A B = B C , } \end{array} \right.$
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE=BF.
（2）解：
∵四边形ABCD是菱形，AB=2，
∴BC=AD=AB=2.
∵点E是AD的中点，
∴$A E = \frac { 1 } { 2 } A D = \frac { 1 } { 2 } \times 2 = 1$.
∵△AEB≌△BFC，
∴BF=AE=1.
∵∠BFC=90°，
∴$C F = \sqrt { B C ^ { 2 } - B F ^ { 2 } } = \sqrt { 2 ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 3 }$，
即CF的值为$\sqrt { 3 }$.