《2025年广东名师讲练通九年级数学全一册北师大版深圳专版》

知识点1 根据实际问题列函数关系式
(1)理解题意:找出实际问题中的已知量和①变量(自变量、因变量),将文字或图形语言转化为②数学语言;
(2)分析关系:找到已知量和③变量之间的关系,列出④等量关系式;
(3)列函数表达式:设出表示变量的字母,把等量关系式用含字母的式子替换,将表达式写成用自变量表示的函数的形式.

答案： ①变量 ②数学 ③变量 ④等量

【例1】如图,在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂画,设挂画总面积为y cm²,金色纸边的宽为x cm,则y与x之间的函数关系式是$ y = 4x^{2} + 260x + 4000 $.

答案： $ y = 4x^{2} + 260x + 4000 $

对点训练1 (2024春·福田区期中)深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼,建筑队在学校一边靠墙处,计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库,仓库总面积为y平方米,为方便取物,在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道,在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门,若设AB=x米,则y关于x的函数关系式为$ y = x(18 - 4x) $.

答案： $ y = x(18 - 4x) $

【例2】(根据九年级北师大版教材P31问题2.1第4题改编)某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,设这种商品的总利润为y元,则y与x之间的函数关系式为$ y = -x^{2} + 230x - 6000 $.

答案： 【例 2】 $ y = -x^{2} + 230x - 6000 $ 

某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(万元)关于x的函数表达式为y=10(1 + x)^{2}.

答案： 对点训练 2 $ 10(1 + x)^{2} $ 

知识点2 二次函数的定义
1. 定义:一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的⑤二次函数.
2. 判断方法:(1)函数关系式是⑥整式;(2)化简后自变量的最高次数是⑦2;(3)二次项系数不为0.
3. 结构特征:(1)等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2;(2)a,b,c是常数,a是⑧二次项系数,b是⑨一次项系数,c是⑩常数项.

答案： ⑤二次 ⑥整式 ⑦2 ⑧二次项 ⑨一次项 ⑩常数项

【例3】下列函数中,一定是二次函数的有(A).
①y=ax²+bx+c;②y=1/x²;③y=(x²+1)/2 -x²;
④y=(x+1)² -x²;⑤y=100-25x².
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

答案： A

对点训练3 (2024·南山区校级开学)下列函数中,y一定是x的二次函数的是(B).
A. y=ax²+bx+c B. y=50+x²
C. y=x+2 D. y=(x+1)² -x²

答案： B