2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版


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《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

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1. 定义:有一组邻边
相等
的平行四边形叫做菱形.如图,在$□ ABCD$中,$AB=AD$,则它是菱形.
答案： 相等
2. 操作并猜想:如图,对折菱形纸片,发现菱形是
轴
对称图形,它有
2
条对称轴.猜想$AB$与$BC$的数量关系为
AB = BC
,$AC$与$BD$的位置关系为
AC⊥BD
.
答案： 轴　2　AB = BC　AC⊥BD
3. 如图,在$▱ ABCD$中,$AB=AD$,对角线相交于点$O$.求证:$AB=BC=CD=AD$,$AC\perp BD$.
答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，BC = AD，OB = OD。
∵AB = AD，
∴AB = BC = CD = AD。
∵OB = OD，
∴AC⊥BD。
4. 结论:菱形具有平行四边形所有的性质,且具有以下特殊性质:

(1)菱形的四条边都
相等
,菱形的两条对角线互相
垂直
,并且每一条对角线平分一组对角.　(2)菱形是轴对称图形,它有
2
条对称轴.
答案：
(1)相等　互相垂直　　
(2)2
【例1】(北师教材九上P3例1)如图,在菱形$ABCD$中,对角线$AC$与$BD$相交于点$O$,$\angle BAD=60^{\circ}$,$BD=6$,求菱形的边长$AB$和对角线$AC$的长.

答案：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = AD，AC⊥BD，OB = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{1}{2}$×6 = 3，AC = 2OA。
∵∠BAD = 60°，
∴△ABD是等边三角形。
∴AB = BD = 6。
在Rt△AOB中，OA = $\sqrt{AB^{2}-OB^{2}}$ = 3$\sqrt{3}$。
∴AC = 2OA = 6$\sqrt{3}$。
【变式1】(北师教材九上P4随堂练习改编)如图,在菱形$ABCD$中,对角线$AC$与$BD$相交于点$O$,$AB=5$,$AO=4$,求:
(1)菱形的周长.
(2)$BD$的长.

答案： 解：
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = AD = CD = BC = 5。
∴C菱形ABCD = 4AB = 20。
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD = 2OB。
在Rt△AOB中，OB = $\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}$ = 3。
∴BD = 2OB = 6。

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