《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

一、预习导学
如图，下列三组图中，$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，且相似比为$k$，请分别求它们对应高、对应角平分线及对应中线的比.

☆定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于________.

答案： 解:对应高、对应角平分线、对应中线的比均为 $ k $.
定理:相似比

【例1】已知$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，对应边的比为$1:3$，则相似比为________，对应高的比为________，对应中线的比为________，对应角平分线的比为________.

答案： $ 1:3 $ $ 1:3 $ $ 1:3 $ $ 1:3 $

【变式1】若两个相似三角形对应中线的比为$4:3$，则它们对应角平分线的比是（C）
A. $9:16$
B. $16:9$
C. $4:3$
D. $3:4$

答案： C

【例2】（北师教材九上P107T1）已知$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，$BD$和$B'D'$是它们的对应中线，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{3}{2}$，$B'D' = 4\mathrm{cm}$，求$BD$的长.
【变式2】两个相似三角形一组对应高的长分别是$2\mathrm{cm}$和$5\mathrm{cm}$，求这两个三角形的相似比. 在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是$3\mathrm{cm}$，那么较长的中线有多长？

答案： 【例 2】解:$\because \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$,
$\therefore AC:A'C' = BD:B'D'$.
$\because \frac{AC}{A'C'} = \frac{3}{2}$, $ B'D' = 4 \text{ cm} $,
$\therefore BD = 6 \text{ cm} $.
【变式 2】解:$\because$ 两个相似三角形一组对应高的长分别是 $ 2 \text{ cm} $ 和 $ 5 \text{ cm} $,
$\therefore$ 两个相似三角形的相似比为 $ 2:5 $.
$\therefore$ 两个相似三角形对应中线的比为 $ 2:5 $.
设较长的中线是 $ x \text{ cm} $.
$\therefore \frac{3}{x} = \frac{2}{5}$,
解得 $ x = 7.5 $.
答:较长的中线长为 $ 7.5 \text{ cm} $.

【例3】(北师教材九上P107例1改编)如图，$AG$是$\triangle ABC$的高，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，且$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}$，$AG = 12$，求$AF$的长.
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【变式3】如图，电灯$P$在横杆$AB$的正上方，$AB$在灯光下的影子为$CD$，$AB // CD$，$AB = 2\mathrm{m}$，$CD = 6\mathrm{m}$，点$P$到$CD$的距离是$3\mathrm{m}$，求点$P$到$AB$的距离.
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课堂总结：运用相似三角形的性质解决实际问题的步骤
(1)找到并证明两个三角形相似；(2)利用相似三角形对应线段成比例求边长.

答案： 【例 3】解:依题意,得 $ DE // BC $.
$\therefore \triangle ADE \backsim \triangle ABC $.
$\therefore \frac{AF}{AG} = \frac{DE}{BC} = \frac{1}{3}$, 即 $ \frac{AF}{12} = \frac{1}{3} $,
$\therefore AF = 4 $.
【变式 3】解:$\because AB // CD $,
$\therefore \triangle PAB \backsim \triangle PCD $.
$\therefore AB:CD =$ 点 $ P $ 到 $ AB $ 的距离 : 点 $ P $ 到 $ CD $ 的距离.
$\therefore 2:6 =$ 点 $ P $ 到 $ AB $ 的距离 : $ 3 $.
$\therefore$ 点 $ P $ 到 $ AB $ 的距离为 $ 1 \text{ m} $.