《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【变式2】如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将$\triangle BCE$沿BE翻折,点C落在边AD上的点F处,过点F作$FG// CD$,交BE于点G,连接CG.
(1)求证:四边形CEFG是菱形.
(2)若$AB=6,AD=10$,求四边形CEFG的面积.
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答案： 解:
(1)证明:由题意，得△BCE≌△BFE，
∴∠BEC = ∠BEF，FE = CE。
∵FG//CE，
∴∠FGE = ∠CEB。
∴∠FGE = ∠FEG。
∴FG = FE。
∴FG = EC。
　又
∵FG//CE，
∴四边形CEFG是平行四边形。
　又
∵CE = FE，
∴平行四边形CEFG是菱形。
(2)
∵在矩形ABCD中，AB = 6，AD = 10，BC = BF，
∴∠BAF = 90°，AB = CD = 6，AD = BC = BF = 10。
　在Rt△BAF中，∠BAF = 90°，
∴AF = $\sqrt{BF² - AB²}$ = 8。
∴DF = 2。
　设CE = x，则CE = x，DE = CD - CE = 6 - x。
∵∠FDE = 90°，
∴2² + (6 - x)² = x²。
　解得x = $\frac{10}{3}$。
∴CE = $\frac{10}{3}$。
∴四边形CEFG的面积是CE·DF = $\frac{10}{3}$×2 = $\frac{20}{3}$。

【例3】(北师教材九上P27T14)如图,在矩形ABCD中,$AB=20cm$.动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度运动.点P和点Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设动点的运动时间为t s,则当t为何值时,四边形APQD是矩形?
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答案： 解:由题意，得AP = 4t cm，DQ = (20 - t) cm。
∵四边形APQD是矩形，
∴AP = DQ，即4t = 20 - t，
　解得t = 4。
∴当t = 4时，四边形APQD是矩形。

【变式3】如图,在四边形ABCD中,$AD// BC$,点E是BC的中点,$AD=5,BC=12,CD=4\sqrt{2}$,$\angle C=45^{\circ}$,点P是边BC上的一动点,设PB的长为x.
(1)当x为何值时,以点P,A,D,E为顶点的四边形为平行四边形?
(2)点P在边BC上运动的过程中,以点P,A,D,E为顶点的四边形能否构成菱形?试说明理由.
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答案：
解:
(1)分为两种情况:
　①如图1，当点P在点E的左边时
　　　　　
　由题意，易得AD = PE = 5，CE = 6。
∴x = BP = BC - PE - CE = 1；
　②如图2，当点P在点E的右边时。
　　　　　
∵AD = EP = 5，
∴BP = BC - (CE - EP) = 11。
∴当x = 1或11时，以点P，A，D，E为顶点的四边形为平行四边形。
(2)点P在边BC上运动的过程中，以点P，A，D，E为顶点的四边形能构成菱形。理由如下:
　分为两种情况:①如图3，当点P在点E的左边时
　　　　
　易得DE = 2$\sqrt{5}$。
∴AD ≠ DE。
∴此时以点P，A，D，E为顶点的四边形APED不是菱形；
②如图4，当点P在点E的右边时，过点D作DM⊥BC于点M，过点A作AQ⊥BC于点Q。
　　　　
易得AQ = DM = 4。
∵AD = AE = EP = 5，
∴BP = BE + EP = 11。
∴当x = 11时，以点P，A，D，E为顶点的四边形为菱形。