《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

一、预习导学
如图,梯子长 10 m,梯子顶端与地面距离为 8 m,梯子顶端下滑几米时,梯子底端滑动的距离和它相等呢?
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答案：
解:如图,由题意,得AB = 10m,AC = 8m
设AD = xm,则BE = xm
在Rt△ABC中,由勾股定理，得BC = $\sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 6(m)$。
当点B滑到点E时,DE = AB = 10m,
CD = AC - AD = (8 - x)m,CE = BC + BE = (6 + x)m。
在Rt△CDE中,由勾股定理,得DC² + CE² = DE²,
即(8 - x)² + (6 + x)² = 10²。
解得x₁ = 2,x₂ = 0(不符合题意，舍去)。
答:当梯子顶端下滑2m时,梯子底端滑动的距离和它相等。

【例 1】(北师教材九上 P53 习题 T2 改编)如图,在△ABC 中,∠B=90°.点 P 从点 A 开始,沿边 AB 向点 B 以 1 cm/s 的速度移动,点 Q 从点 B 开始,沿边 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度移动.如果 AB=6 cm,BC=12 cm,点 P,Q 同时出发,几秒后△PBQ 的面积等于 8 cm²?
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答案： 解:设xs后△PBQ的面积等于8cm²,则BP = (6 - x)cm,BQ = 2xcm。根据题意，得$\frac{1}{2}×(6 - x)×2x = 8$，
解得x₁ = 2,x₂ = 4。
答:2s或4s后△PBQ的面积等于8cm²。

【变式 1】如图,在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=30 cm,BC=21 cm.动点 P 从点 C 出发,沿 CA 方向运动;动点 Q 同时从点 B 出发,沿 BC 方向运动.点 P,Q 的运动速度均为 1 cm/s.
(1)运动几秒时,P,Q 两点相距 15 cm?
(2)运动几秒时,△CPQ 的面积占△ABC 面积的七分之一?
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答案： 解:
(1)设运动ts时，P,Q两点相距15cm。
根据题意,得t² + (21 - t)² = 15²,
解得t₁ = 9,t₂ = 12。
答:运动9s或12s时,P,Q两点相距15cm。
(2)设运动xs时,△CPQ的面积占△ABC面积的七分之一。
根据题意，得$\frac{1}{2}x(21 - x) = \frac{1}{7}×\frac{1}{2}×30×21$，
整理,得x² - 21x + 90 = 0,
解得x₁ = 15,x₂ = 6。
答:运动6s或15s时,△CPQ的面积占△ABC面积的七分之一。