《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图，已知$\angle 1=\angle 2$，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定$\triangle ABC \backsim \triangle ADE$的是（C）
A. $\frac {AB}{AD}=\frac {AC}{AE}$
B. $\angle B=\angle D$
C. $\frac {AB}{AD}=\frac {BC}{DE}$
D. $\angle C=\angle AED$
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答案： C

2. （北师教材九上P120T11）如图，点C，D在线段AB上，$\triangle PCD$是等边三角形，且$\triangle ACP \backsim \triangle PDB$，求$\angle APB$的度数.
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答案： 解:
∵△PCD是等边三角形,
∴∠PCD=60°.
∴∠ACP=120°.
∵△ACP∽△PDB,
∴∠APC=∠B.
∵∠A=∠A,
∴△ACP∽△APB.
∴∠APB=∠ACP=120°.

3. （北师教材九上P122T18）如图，已知$\triangle ABC$，$\triangle DCE$，$\triangle FEG$是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且$AB=\sqrt {3}$，$BC=1$，BF分别交AC，DC，DE于点P，Q，R.
（1）求证：$\triangle BFG \backsim \triangle FEG$.
（2）求$AP:PC$的值.
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答案： 解:
(1) 证明:由题意,得BC=CE=EG=1,BG=3,FG=AB=$\sqrt{3}$
　在△BFG和△FEG中,
　
∵$\frac{FG}{EG}=\frac{BG}{FG}=\sqrt{3}$，∠G=∠G,
　
∴△BFG∽△FEG.
(2)
∵△ABC≌△FEG,
∴∠ACB=∠G.
　
∴PC//FG.
　
∴△BPC∽△BFG.
∴$\frac{PC}{BC}=\frac{FG}{BG}$，即$\frac{PC}{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
　解得$PC=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∵AC=AB=$\sqrt{3}$,
∴AP=AC - PC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
∴AP:PC=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 2$.

4. 如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，将$\triangle CDE$沿DE翻折，点C恰好落在边AB上的点F处，连接DF，延长FE，交DC延长线于点G.
（1）求证：$\triangle DFG \backsim \triangle FAD$.
（2）若菱形ABCD的边长为5，$AF=3$，求BE的长.
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答案： 解:
(1) 证明:
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠BCD，AB//CD.
　由翻折,得∠DFG=∠BCD.
∴∠A=∠DFG.
∵AB//CD,
∴∠AFD=∠FDG.
∴△DFG∽△FAD.
(2) 由翻折,得DC=DF=5.
∵△DFG∽△FAD,
∴$\frac{DG}{DF}=\frac{DF}{AF}=\frac{FG}{AD}$,
　即$\frac{DG}{5}=\frac{5}{3}=\frac{FG}{5}$.
∴DG=$\frac{25}{3}$=FG.
∴CG=DG - DC=$\frac{10}{3}$.
∵AB=5,AF=3,
∴BF=2.
∵CG//BF,
∴△CGE∽△BFE.
∴$\frac{CE}{BE}=\frac{CG}{BF}=\frac{5}{3}$.
∴CE=$\frac{5}{3}$BE.
∵CE + BE=BC=5,
∴$\frac{8}{3}$BE=5.
∴BE=$\frac{15}{8}$.