《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

8.如图,某同学想测量旗杆的高度,他在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时影长为1.5m,在同一时刻测量旗杆的影长时,因旗杆靠近一楼房,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上.他测得落在地面上的影长为21m,留在墙上的影高为2m,求旗杆的高度.
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答案：
8. 解: 如图, 过点 C 作$CE⊥AB$于点 E,连接 AC.

$\because CD⊥BD,AB⊥BD,$
$\therefore ∠EBD=∠CDB=∠CEB=90^{\circ }.$
$\therefore$ 四边形 CDBE 为矩形.
$\therefore BD=CE=21,CD=BE=2.$
设$AE=x.$
则$1:1.5=x:21$, 解得$x=14.$
$\therefore AB=AE+BE=14+2=16(m).$
答: 旗杆的高度为 16 m.

9.如图,在$//ogram ABCD$中,过点A的直线交BC的延长线于点E,交BD,CD于点F,G.
(1)若$AB=3,BC=4,CE=2$,求CG的长.
(2)求证:$AF^{2}=FG\cdot FE$.
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答案： 9. 解:
(1)$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形,
$\therefore AB// CD.$
$\therefore △EGC\backsim △EAB.$
$\therefore \frac {CG}{AB}=\frac {EC}{EB}$, 即$\frac {CG}{3}=\frac {2}{2+4},$
解得$CG=1.$
$\therefore CG$的长为 1.
(2) 证明:$\because AB// CD,$
$\therefore △DFG\backsim △BFA.$
$\therefore \frac {FG}{FA}=\frac {DF}{FB}.$
$\because AD// CB,$
$\therefore △AFD\backsim △EFB.$
$\therefore \frac {AF}{FE}=\frac {DF}{FB}.$
$\therefore \frac {FG}{FA}=\frac {AF}{FE}$, 即$AF^{2}=FG\cdot FE.$

10.如图,$\triangle ABC$为等腰直角三角形,$∠BAC=90^{\circ }$,点D在线段CB的延长线上,点E在线段AC的延长线上,连接AD,DE,若$∠ADE=45^{\circ }$.
(1)求证:$\triangle ADB\backsim \triangle DEC$.
(2)若$AB=2,DB=\sqrt {2}$,求DE的长.
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答案：
10. 解:
(1) 证明:$\because △ABC$为等腰直角三角形,
$\therefore ∠ABC=∠ACB=45^{\circ }.$
$\therefore ∠ABD=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ },∠DCE=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }.$
$\therefore ∠ABD=∠DCE.$
$\because ∠ADE=45^{\circ },$
$\therefore ∠ADB+∠CDE=45^{\circ }.$
$\because ∠CDE+∠E=∠ACB=45^{\circ },$
$\therefore ∠ADB=∠E.$
$\therefore △ADB\backsim △DEC.$
(2) 如图, 过点 A 作$AF⊥BC$于点 F.

$\because △ABC$为等腰直角三角形,$AB=AC=2,$
$\therefore BC=2\sqrt {2}.$
$\therefore BF=AF=\sqrt {2}.$
$\therefore CD=BD+BC=3\sqrt {2},DF=BD+BF=2\sqrt {2}.$
$\therefore AD=\sqrt {AF^{2}+DF^{2}}=\sqrt {10}.$
由
(1), 得$△ADB\backsim △DEC,$
$\therefore \frac {AD}{DE}=\frac {AB}{DC}$, 即$\frac {\sqrt {10}}{DE}=\frac {2}{3\sqrt {2}},$
解得$DE=3\sqrt {5}.$
$\therefore DE$的长为$3\sqrt {5}.$