《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

一、预习导学
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| 锐角A
锐角三角函数 | $ 30^{\circ} $ | $ 45^{\circ} $ | $ 60^{\circ} $ |
| --- | --- | --- | --- |
| $ \sin A $ | $\frac { 1 } { 2 }$ | $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ | $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ |
| $ \cos A $ | $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ | $\frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ | $\frac { 1 } { 2 }$ |
| $ \tan A $ | $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ | $1$ | $\sqrt { 3 }$ |
!

答案： $ \frac { 1 } { 2 } $$ $$ \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $$ $$ \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $
$ \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $$ $$ \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $$ $$ \frac { 1 } { 2 } $
$ \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } $$ 1 $$ \sqrt { 3 } $

【例1】填空：
(1)$ \sin 30^{\circ} = $$\frac{1}{2}$； (2)$ 2 \cos 30^{\circ} = $$\sqrt{3}$；
(3)$ 2 \tan 45^{\circ} = $$2$； (4)$ \sqrt{2} \cos 45^{\circ} = $$1$；
(5)$ \sqrt{3} \sin 30^{\circ} = $$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
(6)$ \tan^{2} 60^{\circ} = $$3$；
(7)$ \cos 60^{\circ} \cdot \tan 30^{\circ} = $$\frac{\sqrt{3}}{6}$.

答案： $(1) \frac { 1 } { 2 } (2) \sqrt { 3 } (3)2 (4)1$
$(5) \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } (6)3 (7) \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } $

【变式1】填空：
(1)$ 4 \sin 30 ^ { \circ } = $2； (2)$ \sqrt { 2 } \sin 45 ^ { \circ } = $1；
(3)$ \sqrt { 3 } \tan 30 ^ { \circ } = $1；(4)$ 2 \sin 60 ^ { \circ } = $$\sqrt{3}$；
(5)$ \tan ^ { 2 } 30 ^ { \circ } = $$\frac{1}{3}$；
(6)$ \sin ^ { 2 } 30 ^ { \circ } = $$\frac{1}{4}$；
(7)$ 2 \sin 60 ^ { \circ } \cos 60 ^ { \circ } = $$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： $(1)2 (2)1 (3)1 (4) \sqrt { 3 } (5) \frac { 1 } { 3 } (6) \frac { 1 } { 4 } (7) \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $　　

【例2】计算：
(1)$ 2 \cos 60 ^ { \circ } + 4 \sin 60 ^ { \circ } \cdot \tan 30 ^ { \circ } - 6 \cos ^ { 2 } 45 ^ { \circ } $；
(2)$ ( - 2024 ) ^ { 0 } - 2 \tan 45 ^ { \circ } + | - 2 | + \sqrt { 9 } $.

答案： 解：$(1)$原式$ = 2 × \frac { 1 } { 2 } + 4 × \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } × \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } - 6 × ( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ) ^ { 2 } = 1 + 2 - 6 × \frac { 1 } { 2 } = 1 + 2 - 3 = 0 .$　　
$(2)$解：原式$ = 1 - 2 × 1 + 2 + 3 = 1 - 2 + 2 + 3 = 4 .$　　

【变式2】计算：
(1)$ \tan 30 ^ { \circ } \sin 60 ^ { \circ } - \cos ^ { 2 } 30 ^ { \circ } + \sin ^ { 2 } 45 ^ { \circ } \tan 45 ^ { \circ } $；
(2)$ ( - 1 ) ^ { 2024 } + | - 2 | - ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 0 } - 2 \tan 45 ^ { \circ } $.

答案： 解：$(1)$原式$ = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } × \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } - ( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + ( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ) ^ { 2 } × 1 = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 3 } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 4 } .$　　
$(2)$解：原式$ = 1 + 2 - 1 - 2 × 1 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0 .$