《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例1】如图,点D在$\triangle ABC$的边AB上,$AD=1,$$BD=2,AC=\sqrt {3}.$
求证:(1)$\triangle ACD\backsim \triangle ABC$.
(2)$AC^{2}=AD\cdot AB$.
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答案： 证明：
(1)
∵$\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$。
∵$∠A = ∠A$，
∴$△ACD \backsim △ABC$。
(2)由
(1)，得$△ACD \backsim △ABC$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
∴$AC^{2}=AD\cdot AB$。

【变式1】如图,在$\triangle ABC$中,$AB=8,AC=6,$点D在边AC上,$AD=2$,若点E在边AB上,以A,D,E为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似,则AE的长为__________.
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模型二 正8,斜8型(特征:有一组对顶角)
|类型|正8型|斜8型|
|----|----|----|
|图形|!|!|
|模型解读|已知:$AB// CD$.
结论:$\frac {AO}{CO}=\frac {BO}{DO}=\frac {AB}{CD}$.|已知:$∠A=∠D$.
结论:$\frac {AO}{DO}=\frac {BO}{CO}=\frac {AB}{DC}$.|

答案： $\frac{3}{2}$或$\frac{8}{3}$

【例2】如图,在菱形ABCD中,点E在AD上,若$AE:AB=1:3$,求$EF:FC$的值.
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答案： 解：
∵四边形$ABCD$是菱形，
∴$AD = AB = BC$，$AD // BC$。
∴$△DEF \backsim △BCF$。
∴$\frac{EF}{CF}=\frac{DE}{BC}$。
∵$AE:AB = 1:3$，
∴$AE:AD = 1:3$。
∴$DE:AD = 2:3$。
∴$DE:BC = 2:3$。
∴$EF:FC = 2:3$。

【变式2】如图,AD与BE交于点C,$∠A=∠E$.求证:$AC\cdot DC=CB\cdot CE$.
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模型三 一线三等角模型
| | | |
|----|----|----|
|图形|!!!| |
|模型解读|已知:点A,C,D共线,$∠A=∠1=∠D$.
结论:$∠B=∠DCE,∠ACB=∠E,\frac {AB}{CD}=$
$\frac {AC}{DE}=\frac {BC}{CE}$.|已知:点A,C,D共线,$∠A=$
$∠1=∠D=90^{\circ }$.
结论:$∠B=∠DCE,∠ACB=∠E,$
$\frac {AB}{CD}=\frac {AC}{DE}=\frac {BC}{CE}$.|

答案： 证明：
∵$∠A = ∠E$，$∠ACB = ∠ECD$，
∴$△ABC \backsim △EDC$。
∴$\frac{AC}{EC}=\frac{BC}{DC}$。
∴$AC\cdot DC = CB\cdot CE$。