《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例1】同学们，你们都知道“石头、剪子、布”的游戏吧！如果两个人做这个游戏，随机出手一次，两个人获胜的概率各是多少？

答案：
解:画树状图如图:

共有9种等可能的结果，这些结果出现的可能性相等，
∴P(第一个人获胜)=$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$，
P(第二个人获胜)=$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$。

【变式1】同时掷两枚质地均匀的骰子，求两枚骰子向上的点数之和为7的概率。

答案：
解:画树状图如图:

共有36种等可能的结果，其中两枚骰子向上的点数之和为7的结果有6种，
∴两枚骰子向上的点数之和为7的概率为$\frac{6}{36}$=$\frac{1}{6}$。

【例2】小明和小亮用如图所示的两个转盘(每个转盘被分成五个面积相等的扇形)做游戏，转动两个转盘各一次。
(1)若两次数字之和为6，7或8，则小明胜；否则小亮胜。这个游戏对双方公平吗？说说你的理由。
(2)若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜。这个游戏对双方公平吗？说说你的理由。
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答案： 解:
(1)不公平。理由如下:用列表法表示所有可能出现的结果如表。
| B盘A盘 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
由表格，可知共有25种等可能的结果，和为6,7,8的结果有13种，
∴P(小明胜)=$\frac{13}{25}$，P(小亮胜)=$\frac{12}{25}$。
∵$\frac{13}{25}$≠$\frac{12}{25}$，
∴这个游戏对双方不公平。
(2)不公平。理由如下:由
(1)所列表格，得共有25种等可能的结果，和为奇数的结果共有13种。
∴P(和为奇数)=$\frac{13}{25}$，P(和为偶数)=$\frac{12}{25}$。
∵$\frac{13}{25}$≠$\frac{12}{25}$，
∴这个游戏对双方不公平。

【变式2】有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球。小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字(若指针指在分界线上则重转)，小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字。
(1)请用列表或画树状图的方法(选其中一种)表示出所有可能出现的结果。
(2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰胜；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉胜。此游戏公平吗？为什么？
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答案： 解:
(1)用列表法表示所有可能出现的结果如下:
| 转盘摸球 | 2 | 4 | 6 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | (2,1) | (4,1) | (6,1) |
| 3 | (2,3) | (4,3) | (6,3) |
| 5 | (2,5) | (4,5) | (6,5) |
由表，得共有9种等可能的结果，分别为(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5),(6,1),(6,3),(6,5)。
(2)公平。理由如下:列出两次得数之和的所有可能的结果如下:
| 转盘摸球 | 2 | 4 | 6 |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | $2 + 1 = 3$ | $4 + 1 = 5$ | $6 + 1 = 7$ |
| 3 | $2 + 3 = 5$ | $4 + 3 = 7$ | $6 + 3 = 9$ |
| 5 | $2 + 5 = 7$ | $4 + 5 = 9$ | $6 + 5 = 11$ |
由表，得共有9种等可能的结果，其中“和为3的倍数”的结果有3种，“和为7的倍数”的结果有3种，
∴P(小杰胜)=$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$，P(小玉胜)=$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$。
∴此游戏是公平的。