《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

答案： 相等 直角

2. 根据正方形的定义可知，正方形既是矩形，又是菱形，正方形具有矩形与菱形的所有性质。



(1)相等 (2)直角 (3)互相平分、垂直且相等 每一组对角 $AB = BC = CD = DA$ $∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90^{\circ}$ $AC = BD$，$AC⊥BD$，$OA = OB = OC = OD$

答案：  
(1)相等
(2)直角
(3)互相平分、垂直且相等 每一组对角 $AB = BC = CD = DA$ $∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90^{\circ}$ $AC = BD$，$AC⊥BD$，$OA = OB = OC = OD$ 

【例1】如图，已知正方形ABCD。
(1)若边长为2，则对角线长为$2\sqrt{2}$，周长为8，面积为4。
(2)图中有8个等腰直角三角形。

答案：
(1)$2\sqrt{2}$ 8 4
(2)8

【变式1】如图，已知正方形ABCD。
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(1)若对角线长为2，则边长为$\sqrt{2}$，面积为2。
(2)若正方形的面积为8，则它的边长为$2\sqrt{2}$，对角线长为4。
注意：正方形的边长、对角线、周长和面积知一可推三。

答案：
(1)$\sqrt{2}$ 2
(2)$2\sqrt{2}$ 4

【例2】(北师教材九上P21例1)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由。
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答案：
解：$BE = DF$，$BE⊥DF$。
理由如下：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$BC = DC$，$∠BCD = 90^{\circ}$。
∴$∠BCD = ∠DCF = 90^{\circ}$。
∵$CE = CF$，
∴$△BCE≌△DCF$。
∴$BE = DF$，$∠CBE = ∠CDF$。
如图，延长$BE$交$DF$于点$G$。

∵$∠F + ∠CDF = 90^{\circ}$，
∴$∠F + ∠CBG = 90^{\circ}$。
∴$∠BGF = 90^{\circ}$。
∴$BE⊥DF$。

【变式2】(十字架模型)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，CE=DF，连接AF，DE交于点G。求证：AF=DE，AF⊥DE。
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答案： 证明：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD = CD$，$∠ADC = ∠C = 90^{\circ}$。
在$△ADF$和$△DCE$中，
$\left\{\begin{array}{l}AD = DC,\\∠ADF = ∠C,\\DF = CE,\end{array}\right.$
∴$△ADF≌△DCE(SAS)$。
∴$∠DAF = ∠CDE$，$AF = DE$。
又
∵$∠ADG + ∠CDE = 90^{\circ}$，
∴$∠DAF + ∠ADG = 90^{\circ}$。
∴$∠DGA = 90^{\circ}$。
∴$AF⊥DE$。