《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

| | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $\sin A$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\cos A$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\tan A$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | 1 | $\sqrt{3}$ |

答案： $\frac{1}{2}$　$\frac{\sqrt{2}}{2}$　$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$　$\frac{\sqrt{2}}{2}$　$\frac{1}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$　1　　$\sqrt{3}$

1. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AB=6$，$BC=2$，求$\angle A$的正弦值、余弦值和正切值.
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答案： 解：在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，$ \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ A B = 6 $，$ B C = 2 $，
$ \therefore A C = \sqrt { A B ^ { 2 } - B C ^ { 2 } } = \sqrt { 6 ^ { 2 } - 2 ^ { 2 } } = 4 \sqrt { 2 } $．
$ \therefore \sin A = \frac { B C } { A B } = \frac { 2 } { 6 } = \frac { 1 } { 3 } $，$ \cos A = \frac { A C } { A B } = \frac { 4 \sqrt { 2 } } { 6 } = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } $，$ \tan A = \frac { B C } { A C } = \frac { 2 } { 4 \sqrt { 2 } } = \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } $．

2. 计算：
（1）$2\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}=$2.
（2）$\sin 60^{\circ}+\cos 60^{\circ}=$$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$；
（3）若$\tan \alpha=\sqrt{3}$，则锐角$\alpha=$$60^{\circ}$；
（4）已知锐角$A$满足$2\cos (\angle A+15^{\circ})=\sqrt{2}$，则$\angle A=$$30^{\circ}$.

答案：
(1) $ 2 $
(2) $ \frac { \sqrt { 3 } + 1 } { 2 } $
(3) $ 60 ^ { \circ } $
(4) $ 30 ^ { \circ } $

3. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AB=2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{6}$，解这个直角三角形.
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答案： 解：$ \because \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ A B = 2 \sqrt { 2 } $，$ B C = \sqrt { 6 } $，
$ \therefore A C = \sqrt { A B ^ { 2 } - B C ^ { 2 } } = \sqrt { 2 } $．
$ \therefore \sin B = \frac { A C } { A B } = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 \sqrt { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } $．
$ \therefore \angle B = 30 ^ { \circ } $．$ \therefore \angle A = 90 ^ { \circ } - \angle B = 60 ^ { \circ } $．

4. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在$A$处观测到灯塔$M$在北偏东$60^{\circ}$方向上，且$AM=100n mile$，那么该船继续航行$50\sqrt{3}$$n mile$可到达离灯塔最近的位置.

答案： $ 50 \sqrt { 3 } $