《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 已知二次函数 $ y = - 2 ( x - 5 ) ^ { 2 } + 8 $，当 $ x = $5时，$ y $ 有最大值，为8.

答案： 5 大 8

2. 已知二次函数 $ y = - 2 ( x - 5 ) ^ { 2 } + 8 $，当 $ 6 \leq x \leq 10 $ 时，$ x = $6，$ y $ 有最大值，为6.

答案： 6 6

【例 1】用总长为 $ 60 \mathrm { m } $ 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 $ S $ 随矩形一边长 $ x $ 的变化而变化. 当 $ x $ 是多少米时，场地的面积 $ S $ 最大?

答案： 解：$S = x \cdot (\frac{60}{2} - x) = -x^2 + 30x = -(x - 15)^2 + 225(0 ＜ x ＜ 30)$．
$\because a = -1 ＜ 0$，对称轴为直线$x = 15$，
$\therefore$当$x = 15$时，$S$有最大值．
答：当$x$是 15 m 时，场地的面积$S$最大．

【变式 1】已知直角三角形两条直角边的和等于 8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大? 最大值是多少?

答案： 解：设直角三角形的一直角边长为$x$，面积为$S$．则另一直角边长为$8 - x$．
根据题意，得$S = \frac{1}{2}x(8 - x)(0 ＜ x ＜ 8)$，
配方，得$S = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 8$．
$\because a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，
$\therefore$当$x = 4$时，这个直角三角形的面积最大，最大面积是 8．
答：两直角边都为 4 时，最大面积为 8．

【例 2】如图，某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成. 已知墙长 $ 20 \mathrm { m } $，木栅栏长 $ 47 \mathrm { m } $，在与墙垂直的一边留出 $ 1 \mathrm { m } $ 宽的出入口(另选材料建出入门). 求鸡场面积的最大值.
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答案： 解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为$x$m，
则与墙平行的一边长为$(47 + 1 - 2x)$m．
依题意，得$y = x(47 + 1 - 2x)$，
即$y = -2(x - 12)^2 + 288$．
$\because 0 ＜ 47 + 1 - 2x \leq 20$，
$\therefore 14 \leq x ＜ 24$．
$\because -2 ＜ 0$，对称轴为直线$x = 12$，
$\therefore$当$x \geq 14$时，$y$随$x$的增大而减小．
$\therefore$当$x = 14$时，$y$有最大值．
$\therefore$鸡场的最大面积为$14 × 20 = 280(m^2)$．