《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例2】某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽$CD = 5m$，斜坡$AD = 12m$，坝高6m，斜坡BC的坡度$i = 1:3$，求斜坡AD的坡角和坝底宽AB.

答案： 解:由题意可知$CD=FE=5m,$
$CF=ED=6m.$
$\because sinA=DE:AD=6:12=1:2,$
$\therefore ∠A=30^{\circ }.$
∴斜坡AD的坡角为$30^{\circ }.$
$\therefore AE=ADcos30^{\circ }=6\sqrt {3}m.$
$\because CF:BF=1:3,$
$\therefore BF=3CF=18m.$
$\therefore AB=BF+EF+AE=18+5+6\sqrt {3}=$
$(6\sqrt {3}+23)(m).$
答:斜坡AD的坡角为$30^{\circ }$,坝底宽AB为$(6\sqrt {3}+23)m.$

【变式2】(北师教材九下P19改编)某学校在修建体育场的过程中，考虑到安全性，决定将体育场的一处台阶进行改造，在如图的台阶横断面中，将坡面AB的坡角由$45^{\circ}$减至$30^{\circ}$.已知原坡面的长AB为6m(BC所在地面为水平面)，改造后的台阶坡面长度会缩短多少？(结果保留根号)

答案： 解:在$Rt△ABC$中,$AB=6m,$
$\therefore BC=6sin45^{\circ }=3\sqrt {2}m.$
在$Rt△BCD$中,$BD=\frac {BC}{cos30^{\circ }}=2\sqrt {6}m.$
$\therefore AB-BD=(6-2\sqrt {6})m.$
∴改造后的台阶坡面长度会缩短$(6-2\sqrt {6})m$

1. 如图，一辆小车沿着坡度为$i = 1:\sqrt{3}$的斜坡向上行驶了100m，则此时该小车上升的高度为(A)
A. 50m
B. $50\sqrt{2}m$
C. $50\sqrt{3}m$
D. 100m

答案： A

2. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东$60^{\circ}$方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东$45^{\circ}$方向上的B处，这时B离灯塔P的距离是$40\sqrt {6}$海里.

答案： $40\sqrt {6}$

3. 如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动.已知小山的斜坡BM的坡度$i = 1:\sqrt{3}$，在坡面D处有一棵树AD(假设树AD垂直水平线BN)，在坡底B处测得树梢A的仰角为$45^{\circ}$，沿坡面BM方向前行30m到达C处，测得树梢A的仰角$\angle ACQ$为$60^{\circ}$.(点B，C，D在同一直线上)
(1)求A，C两点的距离.
(2)求树AD的高度.(结果精确到0.1m，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$)
!

答案：
解:
(1)如图,延长AD交CQ于点F,交BN于点E.

由题意,得$∠ABN=45^{\circ },∠ACQ=60^{\circ },$
$BC=30m,AE⊥BN,CQ// BN,$
$\therefore AF⊥CQ.$
∵小山的斜坡BM的坡度$i=1:\sqrt {3},$
$\therefore \frac {DE}{BE}=\frac {1}{\sqrt {3}}=\frac {\sqrt {3}}{3}.$
在$Rt△BDE$中,$tan∠DBE=\frac {DE}{BE}=\frac {\sqrt {3}}{3},$
$\therefore ∠DBE=30^{\circ }.$
$\because CQ// BN,$
$\therefore ∠DBE=∠DCQ=30^{\circ }.$
$\therefore ∠ABD=∠ABN-∠DBN=15^{\circ },$
$∠ACD=∠ACQ-∠DCQ=30^{\circ }.$
$\because ∠ACD$是$△ABC$的一个外角,
$\therefore ∠BAC=∠ACD-∠ABD=15^{\circ }.$
$\therefore ∠ABC=∠BAC=15^{\circ }.$
$\therefore CB=CA=30m.$
答:A,C两点的距离为30m.
(2)在$Rt△ACF$中,$∠ACQ=60^{\circ },AC=30m,$
$\therefore AF=AC\cdot sin60^{\circ }=30×\frac {\sqrt {3}}{2}=15\sqrt {3}(m),$
$CF=AC\cdot cos60^{\circ }=30×\frac {1}{2}=15(m).$
在$Rt△CDF$中,$∠DCQ=30^{\circ },$
$\therefore DF=CF\cdot tan30^{\circ }=5\sqrt {3}m.$
$\therefore AD=AF-DF=15\sqrt {3}-5\sqrt {3}\approx 17.3(m).$
答:树AD的高度约为17.3m.