《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例4】如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m.设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为$S m^{2}.(1)$写出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围.
(2)当该矩形菜园的面积为$72m^{2}$时，求边AB的长.
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答案： 解：
(1) $ \because AB = CD = x \, \text{m} $，
$ \therefore BC = (30 - 2x) \, \text{m} $.
由题意，得 $ S = x(30 - 2x) = -2x^{2} + 30x(6 \leq x ＜ 15) $.
(2) 当 $ S = 72 $ 时， $ -2x^{2} + 30x = 72 $，
解得 $ x = 3 $ 或 $ x = 12 $.
$ \because 6 \leq x ＜ 15 $，
$ \therefore x $ 取 12.
答： $ AB $ 的长为 12 m.

【变式4】如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为14m的墙，另外三边用长为27m的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1m的门.设AB=x m时，鸡舍面积为$S m^{2}.(1)$求S关于x的函数解析式及x的取值范围.
(2)当AB为多少时，鸡舍的面积为$90m^{2}？!$课堂总结：
1. 判断是否为二次函数的步骤：(1)化简；(2)看自变量所在的代数式是否为整式；(3)是否符合$y=ax^{2}+bx+c$形式且a≠0.
2. 根据实际问题列二次函数关系式的步骤：(1)审题找出等量关系；(2)设出两个表示变量的字母列出函数关系式；(3)化简.
3. 求函数自变量取值范围：(1)分母≠0；(2)二次根号内式子≥0；(3)实际问题中由具体情况而定，例如：①边长＞0；②三角形任意两边之和＞第三边；③靠墙养鸡场中，平行于墙的边≤墙长.

答案： 解：
(1) 根据题意，得 $ S = (27 + 1 - 2x) \cdot x = -2x^{2} + 28x $.
$ \because 14 \geq 27 + 1 - 2x ＞ 0 $，且 $ x ＞ 0 $，
$ \therefore 7 \leq x ＜ 14 $.
$ \therefore x $ 的取值范围为 $ 7 \leq x ＜ 14 $.
(2) 根据题意，得 $ -2x^{2} + 28x = 90 $，解得 $ x_{1} = 5 $， $ x_{2} = 9 $.
$ \because 7 \leq x ＜ 14 $，
$ \therefore x = 9 $.
答：当 $ AB $ 为 9 m 时，鸡舍的面积为 $ 90 \, \text{m}^{2} $.

1. 下列函数中，是y关于x的二次函数的是$ ( C )A. y=x^{3}+2x^{2}+3B. y=-\frac{1}{x^{2}}C. y=x^{2}+xD. y=mx^{2}+x+1$

答案： C

2. 函数$y=\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}$的自变量x的取值范围是 (C)
A. x≠3
B. x≥3
C. x≥-1且x≠3
D. x≥-1

答案： C

3. 二次函数$y=x^{2}+4x-3$中，当x=-1时，函数y的值是-6.

答案： -6

4. 已知函数$y=(m-1)x^{m^{2}+1}+4x-5$是二次函数，则m=-1.

答案： -1

5. 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y与x之间的关系为$ y = 20(1 + x)^{2} $.

答案： $ y = 20(1 + x)^{2} $

6. (北师教材九上P31T3)某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m.
(1)长方体的长和宽用x(m)表示，长方体的表面积$S(m^{2})$的表达式是什么？
(2)如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用用y(元)表示，那么y的表达式是什么？

答案： 解：
(1) 根据题意，得 $ S = 2[x^{2} + 2x(x + 0.5)] = 6x^{2} + 2x $.
(2) 根据题意，得 $ y = 5S = 30x^{2} + 10x $.