《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例3】已知$ \angle A $是锐角，填空：
(1)若$ \sin A = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $，则$ \angle A = $$45^{\circ}$.
(2)若$ \tan A = 1 $，则$ \angle A = $$45^{\circ}$；
(3)若$ 2 \sin A = 1 $，则$ \angle A = $$30^{\circ}$；
(4)若$ \tan ^ { 2 } A = 3 $，则$ \angle A = $$60^{\circ}$；
(5)若$ \cos ( \angle A + 15 ^ { \circ } ) = \frac { 1 } { 2 } $，则$ \angle A = $$45^{\circ}$.

答案： $(1) 45 ^ { \circ } (2) 45 ^ { \circ } (3) 30 ^ { \circ } (4) 60 ^ { \circ } (5) 45 ^ { \circ } $

【变式3】在$ \triangle A B C $中，$ \angle A , \angle B $是锐角，且满足$ ( 1 - \tan A ) ^ { 2 } + | \sin B - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } | = 0 $，试判断$ \triangle A B C $的形状.

答案： 解：$ \because ( 1 - \tan A ) ^ { 2 } + | \sin B - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } | = 0 ，$　　
$ \therefore 1 - \tan A = 0 , \sin B - \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } = 0 ，$即$ \tan A = 1 , \sin B = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } . \therefore \angle A = 45 ^ { \circ } , \angle B = 45 ^ { \circ } .$　　
$ \therefore \angle C = 180 ^ { \circ } - 45 ^ { \circ } - 45 ^ { \circ } = 90 ^ { \circ } . \therefore \triangle A B C $是等腰直角三角形$.$　　

1.$ 60 ^ { \circ } $角的正切值为 （D）
A.$ \frac { 1 } { 2 } $
B.$ \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } $
C.$ \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $
D.$ \sqrt { 3 } $

答案： D

2.若$ \cos \alpha = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $，则锐角$ \alpha $的度数是$ 45 ^ { \circ } $.

答案： $ 45 ^ { \circ } $

3.(北师教材九下P9T2改编)如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为$ 30 ^ { \circ } $，高为7m，扶梯的长度是14m.

答案： 14

4.计算$ 6 \sin 45 ^ { \circ } - 2 \cos 60 ^ { \circ } = $$ 3 \sqrt { 2 } - 1 $.

答案： $ 3 \sqrt { 2 } - 1 $

5.在$ \mathrm { Rt } \triangle A B C $中，$ \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ \sin A = \frac { 1 } { 2 } $，则$ \tan A $的值是 （C）
A.$ \frac { 1 } { 2 } $
B.$ \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $
C.$ \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } $
D.$ \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $

答案： C

6.在$ \triangle A B C $中，$ ( 2 \cos A - \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + | \sqrt { 3 } - \tan B | = 0 $，则$ \triangle A B C $一定是 （ ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形

答案： A

7.已知$ \alpha $为锐角，且$ \tan \alpha $是方程$ x ^ { 2 } + 2 x - 3 = 0 $的一个根，求$ 2 \sin ^ { 2 } \alpha + \cos ^ { 2 } \alpha - \sqrt { 3 } \tan ( \alpha + 15 ^ { \circ } ) $的值.

答案： 解：解方程$ x ^ { 2 } + 2 x - 3 = 0 ，$　　
得$ x _ { 1 } = 1 , x _ { 2 } = - 3 .$　　
$ \because \tan \alpha ＞ 0 ，$$ \therefore \tan \alpha = 1 .$　　
$ \therefore \alpha = 45 ^ { \circ } . \therefore $原式$ = 2 \sin ^ { 2 } 45 ^ { \circ } + \cos ^ { 2 } 45 ^ { \circ } - \sqrt { 3 } \tan 60 ^ { \circ } = 2 × ( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ) ^ { 2 } + ( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ) ^ { 2 } - \sqrt { 3 } × \sqrt { 3 } = 1 + \frac { 1 } { 2 } - 3 = - \frac { 3 } { 2 } .$　　

8.(北师教材九下P9例2改编)荡秋千时，秋千链子的长度为2m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为$ 60 ^ { \circ } $，且两边的摆动角度相同(如图所示)，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(参考数据：$ \sqrt { 3 } \approx 1.732 $，结果精确到0.01m)
!

答案： 解：依题意，得$ \angle B O C = 30 ^ { \circ } , O A = O B = 2 m , \angle O C B = 90 ^ { \circ } .$
$ \therefore O C = O B \cdot \cos \angle B O C = 2 × \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = \sqrt { 3 } ( m ) . \therefore A C = O A - O C = 2 - \sqrt { 3 } \approx 0.27 ( m ) .$
$ \therefore $它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差为0.27m.