《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

2. （2024·中山市一模）综合探究。
【感知】如图1，在正方形ABCD中，点E为边AB上的一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F。易证：△AED∽△BFE。（不需要证明）
【探究】如图2，在矩形ABCD中，点E为边AB上的一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC于点E。
（1）求证：△AED∽△BFE。
（2）若AB=10，AD=6，点E为AB的中点，求BF的长。
【应用】（3）如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=4。点E为边AB上的一点（点E不与点A，B重合），连接CE，过点E作∠CEF=45°交BC于点F。当△CEF为等腰三角形时，BE的长为2√2或2。

答案： 解：
(1) 证明：
∵$DE\perp EF$，
∴$\angle DEF = 90^{\circ}$.
∴$\angle BEF+\angle AED = 90^{\circ}$.
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$\angle A=\angle B = 90^{\circ}$.
∴$\angle ADE+\angle AED = 90^{\circ}$.
∴$\angle ADE=\angle BEF$.
∴$\triangle AED\backsim\triangle BFE$.
(2)
∵点$E$为$AB$的中点，$AB = 10$，
∴$AE = BE = 5$.
由
(1)，得$\triangle AED\backsim\triangle BFE$，
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{AE}{BF}$，即$\frac{6}{5}=\frac{5}{BF}$，
解得$BF=\frac{25}{6}$.
∴$BF$的长为$\frac{25}{6}$.
(3) $2\sqrt{2}$或$2$