《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例1】(北师教材九上P8例3)如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求：
(1) 对角线AC的长度.
(2) 菱形ABCD的面积.
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答案： 【例1】解：
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AC⊥BD$，$BE=\frac{1}{2}BD=5cm$，$AC=2AE$。
∵$AB=13cm$，
∴$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=12cm$。
∴$AC=2AE=24cm$。
(2)菱形ABCD的面积$=\frac{1}{2}AC·BD=120cm^{2}$。

【变式1】(北师教材九上P9习题T3)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=16，BD=12，求菱形ABCD的高DH.
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答案： 【变式1】解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AC⊥BD$，$OA=\frac{1}{2}AC=8$，$OB=\frac{1}{2}BD=6$。
∴$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=10$。
∴$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC·BD=AB·DH$，
解得$DH=9.6$。
∴菱形ABCD的高DH为9.6。

【例2】如图，点E，F分别是菱形ABCD的边AD，CD的中点，且AB=10，BD=12.
(1) 求线段EF的长.
(2) 求证：四边形DEOF是菱形.

答案： 【例2】解：
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AC⊥BD$，$OB=\frac{1}{2}BD=6$，$AC=2OA$。
∴$OA=\sqrt{AB^{2}-OB^{2}}=8$。
∴$AC=2OA=16$。
∵点E，F分别是AD，CD的中点，
∴EF是△ACD的中位线。
∴$EF=\frac{1}{2}AC=8$。
(2)证明：由题意，易得OE，OF，EF均是△ACD的中位线。
∴$OE// CD$，$OF// AD$，$EF// AC$。
∴四边形DEOF是平行四边形。
∵$AC⊥BD$，
∴$EF⊥BD$。
∴平行四边形DEOF是菱形。

【变式2】如图，四边形ABCD是平行四边形，BM//DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，BN.
(1) 求证：$ \angle DMN = \angle BNM $.
(2) 若$ \angle BAC = \angle DAC $，求证：四边形BMDN是菱形.

答案：
【变式2】证明：
(1)如图，连接BD，交AC于点O。

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$OB=OD$。
∵$BM// DN$，
∴$∠MBO=∠NDO$。
∵$∠BOM=∠DON$，
∴$△BOM≌△DON$。
∴$BM=DN$。
∴四边形BMDN是平行四边形。
∴$BN// DM$。
∴$∠DMN=∠BNM$。
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$BC// AD$。
∴$∠BCA=∠DAC$。
∵$∠BAC=∠DAC$，
∴$∠BAC=∠BCA$。
∴$AB=BC$。
∴四边形ABCD是菱形。
∴$AC⊥BD$。
∴$MN⊥BD$。
∴平行四边形BMDN是菱形。