《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使A落在对角线BD上的A'处.若∠DBC=24°,则∠A'EB= (C)
A. 66°
B. 60°
C. 57°
D. 48°

答案： C

2. 把一张矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,使顶点B和D重合,折痕为EF.若AB=3 cm,BC=5 cm,则A'E的长度是 (D)
A. 1.5 cm
B. 2.4 cm
C. 3.4 cm
D. 1.6 cm

答案： D

3. 如图,把一张矩形纸片沿对角线折叠,若BC=9,CD=3,则阴影部分的面积为$\frac{15}{2}$.

答案： $\frac{15}{2}$

4. 如图,在矩形ABCD中(AB＞AD),对角线AC,BD相交于点O,点A关于BD的对称点为A'.连接AA'交BD于点E,连接CA'.求证:AA'⊥CA'.
!

答案： 证明：
∵点A关于BD的对称点为点$A'$，
∴$AE = A'E$，$AA'⊥BD$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$OA = OC$。
∴OE是$△ACA'$的中位线。
∴$OE// A'C$。
∴$AA'⊥CA'$。

5. 综合与实践课上,老师让同学们以"正方形的折叠"为主题开展数学活动,有一位同学操作过程如下:
操作一:对折正方形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;
操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在正方形内部点M处,把纸片展平,连接PM,BM,延长PM交CD于点Q,连接BQ.
(1)如图1,当点M在EF上时,∠EMB=30度.
(2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图2,判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由.

(2)$∠MBQ = ∠CBQ$。理由如下：
由折叠的性质，得$AB = BM$，$∠A = ∠BMP = 90^{\circ}$。
∴$BC = AB = BM$，$∠BMQ = ∠C = 90^{\circ}$。
∵$BQ = BQ$，
∴$Rt△BMQ≌Rt△BCQ$。
∴$∠MBQ = ∠CBQ$。

答案： 解：
(1)30
(2)$∠MBQ = ∠CBQ$。理由如下：
由折叠的性质，得$AB = BM$，$∠A = ∠BMP = 90^{\circ}$。
∴$BC = AB = BM$，$∠BMQ = ∠C = 90^{\circ}$。
∵$BQ = BQ$，
∴$Rt△BMQ≌Rt△BCQ$。
∴$∠MBQ = ∠CBQ$。