《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

2.【操作发现】(1)如图1,△ABC为等边三角形,点D为边AB上的一点,∠DCE=30°,将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF,连接AF,EF.请直接写出下列结果:
①∠EAF的度数为______.
②DE与EF之间的数量关系为__________.
【类比探究】(2)如图2,在正方形ABCD中,∠EAF的两边分别与线段BC,CD相交于E,F(点E不与B,C重合,点F不与C,D重合),且∠EAF=45°.
①试判断线段BE,EF,DF之间的数量关系,并说明理由.
②如图3,若点E,F分别是BC,CD上的定点,点P是EF的中点,连接AP,作点E关于直线AB的对称点E',作点F关于直线AD的对称点F',连接E'F',当AP=5,BE+DF=$\frac{9}{2}$时,在线段AB,AD上是否分别存在M,N,使四边形MEFN的周长有最小值?若存在,请直接写出这个最小值;若不存在,请说明理由.
!
!
!

答案：
解：
(1)① $120^{\circ}$ ② $DE = EF$
(2)① 线段 $BE$，$EF$，$DF$ 的数量关系是 $DF + BE = EF$. 理由如下：
如图，将 $△ADF$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $△ABK$.

∴ $△ABK ≌ △ADF$.
∴ $AK = AF$，$BK = DF$，$∠BAK = ∠DAF$.
∴ $∠EAK = ∠EAB + ∠BAK = ∠EAB + ∠DAF = 90^{\circ} - ∠EAF = 45^{\circ}$.
∴ $∠EAK = ∠EAF$.
又
∵ $AE = AE$，$AK = AF$，
∴ $△EAK ≌ △EAF$.
∴ $EF = EK = BK + BE = DF + BE$，即 $DF + BE = EF$.
② 当 $E'$，$M$，$N$，$F$ 四点在同一直线上时，四边形 $MEFN$ 的周长有最小值，最小值为 $\frac{29}{2}$.