《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

一、预习导学
|仰角、俯角的概念|图例|练习|
|----|----|----|
|(1)抬头看时,视线与水平线的夹角叫仰角.
(2)低头看时,视线与水平线的夹角叫俯角.|!
铅垂线、人眼、视线、水平线、30°、20°、A、B|[num=左图人眼看点A的仰角为30°.
(2)左图人眼看点B的俯角为70°.|

答案：
(1)仰角　
(2)俯角
(1)$30^{\circ}$　
(2)$70^{\circ}$

【例1】如图,小卓为了通过测量计算出茶树的高度,他从点B沿水平方向走到点D测得BD=17m,再用高为1.5m的测角仪CD,测得树顶A的仰角为60°.请你根据以上数据计算茶树AB的高度.(结果保留根号)
!

答案： 解:由题意,得$BD=CE=17m$，$CD=BE=1.5m$.
在$Rt\triangle ACE$中,$\tan 60^{\circ}=\frac{AE}{CE}=\frac{AE}{17}=\sqrt{3}$,解得$AE=17\sqrt{3}$.
$\therefore AB=AE+BE=(17\sqrt{3}+1.5)m$.
$\therefore$茶树$AB$的高度为$(17\sqrt{3}+1.5)m$.

【变式1】如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=37°.求飞机A与指挥台B的距离.(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)

答案： 解:依题意,得$\angle B=37^{\circ}$.
在$Rt\triangle ABC$中,$\sin 37^{\circ}=\frac{AC}{AB}=\frac{1200}{AB}\approx 0.6$,解得$AB\approx 2000$.
答:飞机$A$与指挥台$B$的距离约为$2000m$.

【例2】如图,热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120m,求这栋楼的高度.($\sqrt{3}$≈1.732,结果保留小数点后一位)

答案： 解:依题意,得$\angle BAD=30^{\circ}$,$\angle CAD=60^{\circ}$,$AD=120m$,$\angle ADC=\angle ADB=90^{\circ}$.
在$Rt\triangle ADB$中,
$\because \angle BAD=30^{\circ}$,$AD=120m$,
$\therefore BD=AD\cdot \tan 30^{\circ}=120× \frac{\sqrt{3}}{3}=40\sqrt{3}(m)$.
在$Rt\triangle ADC$中,
$\because \angle CAD=60^{\circ}$,$AD=120m$,
$\therefore CD=AD\cdot \tan 60^{\circ}=120\sqrt{3}(m)$.
$\therefore BC=BD+CD=40\sqrt{3}+120\sqrt{3}=160\sqrt{3}\approx 277.1(m)$.
答:这栋楼的高度$BC$约为$277.1m$.

【变式2】如图,在热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,热气球C的高度CD为100m.点A,D,B在同一直线上,求AB的长.

答案： 解:$\because$在热气球$C$处测得地面点$B$的俯角为$45^{\circ}$,
$\therefore \angle BCD=\angle CBD$,$BD=CD=100m$.
$\because$在热气球$C$处测得地面点$A$的俯角为$30^{\circ}$,
$\therefore \angle CAD=30^{\circ}$,$AC=2× 100=200(m)$.
$\therefore AD=\sqrt{200^{2}-100^{2}}=100\sqrt{3}(m)$.
$\therefore AB=AD+BD=100\sqrt{3}+100=100(1+\sqrt{3})(m)$.
答:$AB$的长为$100(1+\sqrt{3})m$.