《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

一、预习导学
| | 判定1 | 判定2 | 图形 |
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| 相似三角形 | 两角分别相等的两个三角形相似. | 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. |! |
| 几何语言 | $\because \angle A=\angle A^{\prime}, \angle B=\angle B^{\prime},$ $\therefore \triangle A B C \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} .$ | $\because$$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，$\angle A=\angle A'$, $\therefore \triangle A B C \backsim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} .$ |! |

答案： 成比例 夹 $\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，$\angle A=\angle A'$

【例1】判断图中的两个三角形是否相似,并说明理由.
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【变式1】如图,在$\triangle A B C$中,点$D, E$分别在$A B$与$A C$上,且$A D=5, D B=7, A E=6, E C=4$,$\triangle A D E$与$\triangle A C B$相似吗? 请说明理由.
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答案： 【例1】解：相似.理由如下：
$\because \angle ACB=\angle ECD$，$\frac{AC}{CE}=\frac{BC}{DC}=\frac{3}{2}$，
$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle EDC$.
【变式1】解：$\triangle ADE\backsim \triangle ACB$.理由如下：
$\because AD=5$，$DB=7$，$AE=6$，$EC=4$，
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{5}{6+4}=\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{AB}=\frac{6}{7+5}=\frac{1}{2}$.
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$.
$\because \angle A=\angle A$，
$\therefore \triangle ADE\backsim \triangle ACB$.

【例2】(北师教材九上P91例2改编)如图,$D, E$分别是$\triangle A B C$的边$A C, A B$上的点,$A E=1.5$,$A C=2, B C=4$,且$\frac{A D}{A B}=\frac{3}{4}$.
(1)求证:$\triangle A D E \backsim \triangle A B C$.
(2)求$D E$的长.
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【变式2】如图,已知$A B / / D C$,点$E, F$在线段$B D$上,$A B=2 D C, B E=2 D F$.
求证:$\triangle A B E \backsim \triangle C D F$.
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课堂总结:用两边及夹角证明相似时,注意角必须是两边的夹角.

答案： 【例2】解：
(1)证明：$\because AE=1.5$，$AC=2$，$BC=4$，
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{1.5}{2}=\frac{3}{4}$.
$\because \frac{AD}{AB}=\frac{3}{4}$，$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$.
$\because \angle DAE=\angle BAC$，
$\therefore \triangle ADE\backsim \triangle ABC$.
(2)由
(1)，得$\triangle ADE\backsim \triangle ABC$.
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{3}{4}$.
$\because BC=4$，$\therefore DE=3$.
【变式2】证明：$\because AB// DC$，
$\therefore \angle B=\angle D$.
$\because AB=2DC$，$BE=2DF$，
$\therefore AB:DC=BE:DF=2:1$.
$\therefore \triangle ABE\backsim \triangle CDF$.