《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

【例3】（北师教材九上P23例2）已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分$ \angle ABC $，CE平分$ \angle DCB $，$ BF // CE $，$ CF // BE $。求证：四边形BECF是正方形。
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答案： 证明：
∵BF//CE，CF//BE，
∴四边形BECF是平行四边形。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°。
∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°。
∴BE=CE。
∴平行四边形BECF是菱形。
∵∠E=180°−∠CBE−∠BCE=90°，
∴菱形BECF是正方形。

【变式3】如图，在四边形ABCD中，$ AB = BC = CD = 2 $，$ BD = 2\sqrt{2} $，BD平分$ \angle ABC $。
(1)求证：$ \triangle ABD \cong \triangle CBD $。
(2)求证：四边形ABCD是正方形。
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答案： 证明：
(1)
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD。
又
∵AB=CB，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD。
(2)由
(1)，得△ABD≌△CBD，
∴AD=CD。
∴AB=BC=CD=AD。
∴四边形ABCD是菱形。
∵BC=CD=2，BD=2$\sqrt{2}$，
∴BD²=8=4+4=BC²+CD²。
∴△BCD是直角三角形。
∴∠BCD=90°。
∴菱形ABCD是正方形。

1. 如图，下列四组条件中，能判定$ □ ABCD $是正方形的有（D）
①$ AB = BC $，$ \angle BAD = 90^{\circ} $；②$ AC \perp BD $，$ AC = BD $；③$ OA = OD $，$ BC = CD $；④$ \angle BOC = 90^{\circ} $，$ \angle ABD = \angle DCA $。
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
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答案： D

2. （北师教材九上P25T3）如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且$ AE = BF = CG = DH $。四边形EFGH是什么特殊四边形？你是如何判断的？
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答案： 解：四边形EFGH是正方形。
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=AD。
∵AE=BF=DH，
∴AB−AE=AD−DH，即BE=AH。
∴△AEH≌△BFE。
∴∠AEH=∠BFE，EH=EF。
∵∠BFE+∠BEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°。
∴∠FEH=90°。
同理，可证∠EFG=∠FGH=90°。
∴四边形EFGH是矩形。
∵EF=EH，
∴矩形EFGH是正方形。

3. 如图，在$ \triangle ABC $中，$ \angle BAC = 45^{\circ} $，$ AD \perp BC $于点D，分别以AB，AC为对称轴，画出$ \triangle ABD $，$ \triangle ACD $的轴对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB，FC相交于点G。
（1）求证：四边形AEGF是正方形。
（2）若$ BE = 2 $，$ AD = 6 $，求CG的长。
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答案： 解：
(1)证明：根据题意，得△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF。
∴AE=AD=AF，∠AEB=∠ADB，∠ADC=∠AFC，∠EAB=∠DAB，∠DAC=∠FAC。
∵∠BAC=45°，
∴∠EAD+∠FAD=2∠BAC=90°。
∵AD⊥BC，
∴∠AEB=∠AFC=90°。
∴四边形AEGF是矩形。
∵AE=AF，
∴四边形AEGF是正方形。
(2)由
(1)，得四边形AEGF是正方形，
∴∠BGC=90°，AE=EG=GF。
∵△ABE≌△ABD，△ACD≌△ACF，
∴AD=AE=GF=6，CF=CD。
∵BE=2，
∴BG=4，BD=2。
设CG=x，则CD=CF=6−x。
在Rt△BCG中，BG²+CG²=BC²，
即4²+x²=(2+6−x)²，解得x=3。
∴CG=3。