《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 综合与实践:阅读材料,并解决以下问题.
【学习研究】北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法.以$x^{2}+2x - 35 = 0$为例,构造方法如下:
首先将方程$x^{2}+2x - 35 = 0$变形为$x(x + 2) = 35$,然后画四个长为$x + 2$,宽为$x$的矩形,按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形,则图中大正方形的面积可表示为$(x + x + 2)^{2}$,还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和,即$4x(x + 2)+2^{2}=4×35 + 4$,因此,可得新方程:$(x + x + 2)^{2}=144$.$\because x$表示边长,$\therefore 2x + 2 = 12$,即$x = 5$,遗憾的是,这样的做法只能得到方程的其中一个正根.
【类比迁移】小明根据赵爽的办法解方程$x^{2}+x - 6 = 0$,请你帮忙画出相应的图形,将其解答过程补充完整:
第一步:将原方程$x^{2}+x - 6 = 0$变形为$x$(______)$=6$;
第二步:画四个______的全等矩形构造“空心”大正方形(请在画图区画出示意图,标明各边长),并写出完整的解答过程.
【拓展应用】一般地,对于形如$x^{2}+ax = b$的一元二次方程可以构造图2来解,已知图2由4个相同的矩形构成,这4个矩形的总面积为20,中间围成的正方形边长为$\sqrt{5}$.那么此方程的系数$a =$______,$b =$______,求得方程的一个正根为______.

答案：
解：【类比迁移】第一步：$x + 1$第二步：长为$x + 1$，宽为$x$示意图如图：大正方形的面积可表示为$(x + x + 1)^2$，也可表示为$4x(x + 1) + 1^2 = 4×6 + 1$，$\therefore (x + x + 1)^2 = 4×6 + 1$。$\because 2x + 1$表示边长，$\therefore 2x + 1 = 5$，解得$x = 2$。【拓展应用】$\sqrt{5}$ $5$ $\frac{5 - \sqrt{5}}{2}$