《2025年多维导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 抛物线$y=a(x-h)^{2}+k$的顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h.

答案： (h,k)　直线x=h

2. 填表：
| |开口方向|对称轴|顶点坐标|
|----|----|----|----|
|$y=-3(x-1)^{2}-2$| | | |
|$y=\frac{1}{2}(x+3)^{2}+10$| | | |
|$y=-x^{2}-5$| | | |
|$y=\sqrt{2}(x-7)^{2}$| | | |

答案： | |开口方向|对称轴|顶点坐标|
|----|----|----|----|
|y = -3(x - 1)² - 2|向下|直线x = 1|(1,-2)|
|y = $\frac{1}{2}$(x + 3)² + 10|向上|直线x = -3|(-3,10)|
|y = -x² - 5|向下|y轴|(0,-5)|
|y = $\sqrt{2}$(x - 7)²|向上|直线x = 7|(7,0)|

3. 你能确定二次函数$y=x^{2}+6x+8$的顶点坐标吗？

答案： (-3,-1)

二、课堂导学
知识点1 将“$a=1$”型的二次函数化为$y=a(x-h)^{2}+k$的形式
【例1】将下列抛物线利用配方法化为$y=a(x-h)^{2}+k$的形式，并写出开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)$y=x^{2}+6x+8$；
(2)$y=x^{2}-8x$.
【变式1】(1)求抛物线$y=x^{2}-2x-4$的顶点坐标和对称轴.
(2)求二次函数$y=x^{2}+3x-1$的最小值.
小结：将“$a=1$”型二次函数$y=x^{2}+bx+c$化为顶点式的步骤：
(1)配方：在一次项后$+(\frac{b}{2})^{2}$，再$-(\frac{b}{2})^{2}$，即$y=x^{2}+bx+(\frac{b}{2})^{2}-(\frac{b}{2})^{2}+c$；
(2)合并：把前三项合并成完全平方，把后面的常数合并成一个数字，即$y=(x+\frac{b}{2})^{2}+\frac{4c-b^{2}}{4}$.

答案： 解:
(1)
∵y = x² + 6x + 8 = x² + 6x + 9 - 1 = (x + 3)² - 1,
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x = -3,顶点坐标为(-3,-1).
(2)
∵y = x² - 8x = x² - 8x + 16 - 16 = (x - 4)² - 16,
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x = 4,顶点坐标为(4,-16).
[变式1]解:
(1)
∵y = x² - 2x - 4 = x² - 2x + 1 - 5 = (x - 1)² - 5,
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x = 1,顶点坐标为(1,-5).
(2)
∵y = x² + 3x - 1 = x² + 3x + $\frac{9}{4}$ - $\frac{9}{4}$ - 1 = (x + $\frac{3}{2}$)² - $\frac{13}{4}$,
∴二次函数y = x² + 3x - 1的最小值为 - $\frac{13}{4}$.